V. On reconnaît, avec la même facilité, que si l’on a
Azz?-|-B'’z?-|-B' = o, AV?4-B4 -BVzî = 0 , A"4-BVzz-j-Bzz = o, Czz?4-C'z?~|-C" = o, auquel cas l’équation (6) devient identique, il en résulte R = o, S = o (*).
D’après l’équation (3), ces deux dernières relations sont vérifiées dans deux cas : i° lorsque la droite représentée par les équations ( 2 ) ne rencontre pas la surface; 2 0 lorsque cette droite est tout entière sur la surface.
VI. Si les coordonnées sont rectangulaires, et que a, b , c représentent les cosinus des angles formés avec les axes par la direction commune des cordes, l’équation (6) peut être remplacée par
(Aa-\-ïï' c)x-\-(A'b- J rHc- s r W a)y ) . ,
(*) La fonction S a pour valeur
A ni et + A' n fi 4“ B fi •+* B f oc —H {ni fi -4— 71 oc ) *4~ C ni H— C f ti -4* C w
ou ( A 771 B" 7i -f - B') « 4- (A ; 7 i n- B —H B" 771) fi -4- Ctti *4- C ; ti -4- C n ,
Des plans principaux.
77 . Lorsqu’un plan diamétral est perpendiculaire aux cordes qu’il divise en deux parties égales, on lui donne le nom de plan principal. Afin de chercher si les surfaces du second ordre admettent des plans principaux, supposons les axes rectangulaires, et reprenons l’équation (7), qui représente le plan diamétral conjugué aux cordes parallèles à la direction déterminée par
Ce plan sera principal si les cosinus a, b, c satisfont aux relations
Afl+ B'è-l-B'c A'6 + Br + B'« A'c-|-B'«-t-Bé
En représentant par s la valeur commune de ces rapports, on peut remplacer les deux équations (9) par les trois équations suivantes :
(X'-s)b + Bc -j-B"a = o, ( (10) (A''-s)c4-B'a + B6 =0. J On conclut , des deux premières ,
« — B'(A' — r) + BB'' b -B(A-r)-f-B'B"
puis, par la substitution dans la troisième,
(A — j)(A' — y) (A”- sJ + aBB'B"
(*) En comparant le premier membre à la valeur de A ( 7 4 ), on voit qu’il est égal au déterminant des quantités
(A -s), IJ", B',
C’est ce qu’il était facile de prévoir; car les cosinus a, b, c ne pouvant être nuis tous trois, il faut, pour que les équations (10) soient compatibles, que ce déterminant soit égal à zéro.
4 a GÉOMÉTRIE
ou .v 3 — Mi* — Nj — A = o, (la)
en posant, pour abréger :
