N = B 2 — A' A" + B' 2 — A" A + B" 3 — AA

A = AA' A'' + a BB' B" - AB 2 - A' B' 2 - A" B" 1 .

78 . L’équation caractéristique (ia), étant du troisième degré, a au moins une racine réelle, dont la substitution, dans les formules (i i), donnera des valeurs réelles pour a , b, c (*). Si ces valeurs, substituées à leur tour dans l’équation {7), n’annulent pas les coefficients de x, de y et de z , cette équation représentera un plan principal, et l’on sera en droit d’affirmer que, dans toute surface du second ordre , il existe au moins un plan pr incipal. Quoi qu’il en soit, le calcul précédent démontre l’existence d’un système de droites principales (**) dont la direction satisfait aux équations (10), et ce résultat suffit à l’objet que nous avons en vue.

79 . Remarque. — A cause des relations (10), on peut écrire ainsi Réquation du plan principal :

[ax -f- cz) s -J- Cæ -f- C' b -+- C^c = o, (9)

(*) On ne doit pas oublier que a' ■+■ b* ■+■ c* = 1 . En outre, les formules (11) donnant

ou es «