RÉDUCTION DE L’ÉQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ

Disparition des rectangles.

80 . Si l’on prend pour axe des 2 une droite principale, les équations (10) du n° 77 devront être vérifiées par a = o,b = o,c-- 1; ce qui exige que

Ainsi, lorsque Paxc des z est une droite principale , l’équation de la surface ne contient aucun des deux rectangles xz, /z; en sorte qu’elle prend la forme

Xx’+ A'/+ A"zM- 2 B" xj -f- 2 Cx 4- 2 C'/+ 2 C"z D = o. ( 1 )

En meme temps , l’une des valeurs de s est égale à A" (*).

81. Pour que le terme en xy disparaisse, faisons tourner les axes des x et des y dans leur plan , en les laissant rectangulaires , c’est-à-dire employons les formules

x = x' cos a — /' sina, y — x' sina-f-T - ' cos«, tang2«= x ^(Z).Z).,201);

et nous obtiendrons une équation

Px 5 -j-P'j J + P''z 5 -|-2Qj;-i-2Q'j-f-20' , 24-R = o, ( 2 )

qui renferme encore toutes les surfaces du second ordre, avec leurs variétés (**).

Réduction aux deux formes principales.

82. Les équations qui déterminent le centre de la surface (a) sont (70)

Px, + Q = o, P'/,H-Q'=o, P" , 3 1 + Q b = o.

Lorsque les coefficients P, P', P" sont tous différents de zéro , ces équations donnent des valeurs finies et déterminées pour x { , y , z , en sorte que la surface a un centre unique. Dans ce cas,

(*) Les valeurs des deux autres racines, données par la formule i = i[A + A'±V / (A- A')*-t-R"«],

sont évidemment réelles. 11 n’est pas difficile de conclure de là que, dans tous les cas, l'équation (12) a scs trois racines réelles. La discussion complète de cette équation est une question fort intéressante , que nous sommes obligé de passer sous silence.

(*) On a(i>. D„ 204)

Q =. C cos *-+-C' sina, Q' = — C sina-t-C' cos a, Q" = C", R =■ D.

transportons les axes parallèlement à eux-mêmes, de manière à prendre le centre pour origine; nous obtiendrons une équation

Px‘ + Py+PV = H, (A)

qui représente une première classe de surfaces du second ordre (*).

83. Si un seul des coefficients P, P', P" est nul , et que le terme tout connu qui lui correspond soit différent de zéro, la surface n’a pas de centre, et la transformation précédente n’est plus possible. Mais on peut disposer de la nouvelle origine de manière à faire disparaître le terme indépendant et deux des termes du premier degré.

Soient, par exemple, P = o, Q^o.

Si l’on change i, 7 , z e n j+x,, y 4- y , , s 4- s, , on déterminera x, , y t , z t par les équations

P'/î + Vz] -)- 2 Qjr l + 2 Q' j, 4 - 2 Q” z t 4- R = o (**), P'r.+Q' = 0| P" Z | 4 -Q"= o ;

et les surfaces de la seconde classe seront représentées par PV+PVH- 2 Qx = o. (B)