Supposons P = o, Q

Alors l’équation (a) devenant

représente évidemment un cylindre elliptique ou hyperbolique . Cette surface ne constitue pas une nouvelle classe; car elle peut être donnée par l’équation (A), dans laquelle on supposerait P = o.

85. Si l’équation ( 2 ) ne contient ni x : ni y 3 , elle se réduit à

P"z 5 4-2Qar4-2Q'74-2Q" z + R = o.

En combinant cette dernière équation avec z — h , on obtient un

(*) -H = Qx,h-Q4 1 h-Q"* 1 + R (71).

(**) Cette première équation , simplifiée au moyen des deux autres, se réduit à

résultat de la forme Qx + Q'y + h = o. Par conséquent, la surface est un cylindre. Ce cylindre est parabolique ; car y = o donne P"z4-2Qx-t-2Q"z4-R = o, équation d’une parabole. Ce genre particulier de surfaces rentre dans la seconde classe ; car l’équation (B), quand on suppose P'=o, représente un cylindre parabolique.

86 . On ne peut pas supposer P = o , P' = o , P" = o , attendu que l’équation (2) se réduirait au premier degré.

87 . En résumé , toutes les surfaces du second ordre sont comprises dans les deux classes représentées par les équations ( A ) et (B). La première classe contient les surfaces à centre unique et les surfaces qui ont une infinité de centres ; la seconde classe (Q étant supposé différent de zéro) renferme les surfaces dépourvues de centre.

EXERCICES