DISCUSSION DES SURFACES A CENTRE

88. On a vu (82) que toutes ces surfaces sont comprises dans l’équation

Px’+PY + PVzrH. (A)

Quelles que soient les valeurs des coefficients , l'origine est un centre (70). De plus, les axes étant rectangulaires, les plans coordonnés sont des plans principaux.

89. Pour simplifier la discussion , nous considérerons d’abord les cas dans lesquels l’équation (A) est complète. Comme le terme H peut toujours être supposé positif, ces cas sont au nombre de quatre:

i°. Les trois carrés positifs;

z°. Deux carrés positifs, un carré négatif ;

3°. Un carré positif , deux carrés négatifs;

4°. Les trois carrés négatifs.

Dans ce dernier cas, l’équation (A) ne représente rien : il nous reste donc à examiner les trois autres hypothèses.

"?• ' ; ». - -v wk,’ •

■ *.« Tv J ;• J? %

Ellipsoïde.

90. En suivant la marche adoptée pour la discussion de l’ellipse ( D . D., 2H), on trouve que : i° la surface a six sommets A, A', B , B', C , C', déterminés par

>K. y > ' Vÿ 1 *

a*. L’équation (A) peut être remplacée par

• k -W* fi- ^ SvV .• v

3°. Les traces de la surface, sur les plans coordonnés, sont les ellipses ayant pour équations

91. Sections parallèles aux plans principaux. — Si, dans l’équation (i), on fait z — 7 , on obtient

Celte équation représente une ellipse , un point, ou un lieu imaginaire , suivant que 7 est inférieur, égal ou supérieur à c. En excluant les deux dernières hypothèses, on peut donc dire que les sections parallèles h un plan principal sont des ellipses. De plus , ces ellipses sont semblables ; car les demi-axes de chacune d’elles étant donnés par les formules

il s’ensuit que