Génération de la surface
— Il résulte, de cette discussion, que la surface peut être engendrée par une ellipse DED'E', toujours semblable à elle-même, dont les sommets D, D' s’appuieraient sur une ellipse directrice ACA'C', et dont le plan resterait constamment perpendiculaire à l’axe CC' clc cette courbe.
93, Sections par des plans quelconques. — En combinant l’équation (A) avec z = mx-\-n/-\-p, on obtient
( P 4 - P" ni 1 ) x 2 -f - 2 P” mnxy + ( P' 4 - P" n 2 ) f -+■ . . . = H.
Le binôme IP- 4 AC se réduit à - 4 (PP'-f-PP"«’ + P'P"/>i 5 ), quantité essentiellement négative. Les projections des sections
planes et ces sections mêmes sont donc des ellipses : pour cette raison , la surface est appelée ellipsoïde.
94. Cas particuliers de l’ellipsoïde. — i°. Lorsque deux des sections principales sont égales entre elles, la surface devient un ellipsoïde de révolution autour de l’axe perpendiculaire à la troisième section principale. Par exemple, si a — b, l’équation (i) se réduisant à
il est évident que la surface peut être engendrée par la demiellipse CAC' tournant autour de CC'. De plus, tout plan passant par l’axe de rotation est un plan principal.
2 °. Si a = b = c , l’ellipsoïde se réduit à une sphère.
95. Sommets, axes, etc. — Dans l’équation (A), supposons P, P' positifs, P" négatif ; nous aurons, en mettant les signes en évidence,
Opérant ensuite comme dans le cas de l’ellipsoïde, nous trouverons que :
i°. La surface a quatre sommets réels A, A', B, B' et deux sommets imaginaires, ayant pour coordonnées
2 °. L’équation (A) peut être réduite à
3°. Les sections principales sont l’ellipse et les hyperboles représentées par
Hyperboloïde à une nappe.
Px’+py— p"z 3 =h.
5o GÉOMÉTRIE
96. Génération de la surface. — Elle no diffère de celle de l’ellipsoïde que par le changement de l’ellipse ACA'C' (92) en une
hyperbole directrice AHA'H'. La surface est donc indéfinie et continue:
on lui donne le nom d’ hyperboloïde à une nappe.
97. Sections par des plans quelconques. — Changeant P" en — P", on obtient (93)
