B J — 4 AC= - 4 (PP'-PP V-P'P'W
Cette quantité peut être négative, nulle et positive ; donc les sections planes de la surface peuvent être des ellipses, des paraboles et des hyperboles.
98. Hyperboloïde de révolution. — Si b = a, l’équation ( 2 ) représente un hyperboloïde de révolution à une nappe , engendré par la demi-hyperbole CAH tournant autour de son axe non transverse.
Hyperboloïde à deux nappes.
99. Axes , sommets, etc. — Supposons P positif, P' et P" négatifs; l’équation (A) deviendra
ou
Px 5 -py-pv=H,
îL£i* = I . (3 )
i°. La surface a seulement deux sommets réels A, A', dont les coordonnées sont
2 0 . Les traces de la surface, sur les plans xO j, xOz, sont les deux hyperboles ayant pour équations
3®. Non-seulement le plan desjz ne coupe pas la surface, mais encore on n’obtient aucune section en donnant à x une valeur comprise entre -h a et — a. La surface est donc composée de deux
ANALYTIQUE. 5i
nappes séparées FAD, F'A'D': l’une est située à la droite du plan
PAQ représenté par x = a, l’autre s’étend à la gauche du plan P'A'Q', symétrique du premier relativement à l’origine. Comme d’ailleurs cette surface admet des sections hyperboliques, elle est convenablement désignée sous le nom d ' hyperboloïdc h deux nappes.
100. Génération de la surface. — En faisant z — 7 dans l’équation (3), on obtient
équation d’une hyperbole HKH'K' semblable à l’hyperbole principale ADA'D', et dont les sommets H, H' sont situés sur la seconde hyperbole principale AFG... On passe donc du premier hyperboloïde au second , en changeant l 'ellipse génératrice en une hyperbole.
101 . Hypcrboloïdc de révolution. — Lorsque b = c, l’équation (3) devient
et l’on a un hypcrboloïdc de révolution autour de 0.r. Si l’on veut conserver le mode de génération indiqué tout à l’heure , on doit prendre r hyperbole génératrice semblable à P hyperbole directrice.
102. Remarque. — On passe de l’équation (2) à l’équation (3), en changeant c en c \/— 1 .
Cônes du deuxième degré.
403. Lorsque, dans l’équation ( A), H = o, et qu’en même temps les coefficients P, P', P" sont différents de zéro, cette équation se réduit évidemment à l’une des deux formes suivantes :
Px’-fvPy-+-P'V = o, (4) Px’-t-Py-PV = o. (5)
5a GÉOMÉTRIE •
i°. L’équation (4) se décompose en x = o, / = o, z = o. Elle représente donc P origine.
2 °. Dans l’équation (5), faisons x — mz, y=nz\ nous obtiendrons, en supposant que z ne soit pas nul ,
P/?2’4-PV~P"=o.
Par conséquent , la surface représentée par l’équation ( 5 ) est le lieu d’une droite qui passe par l'origine, et dont les paramètres ni, ii satisfont à la condition précédente. Cette surface est donc un cône ayant pour centre P origine (*).
104 . Remarques. — I. Un point est une variété de F ellipsoïde : c’est un ellipsoïde dont les trois axes sont nuis ( D . D., 119 , 211 ).
II. Un cône (lu deuxième degré peut, indifféremment, être regardé comme une variété de P hyperboloïde a une nappe , ou comme une variété de P hyperboloïde h deux nappes : c’est un hyperboloïde dans lequel les trois axes ont diminué jusqu’à zéro, en conservant des rapports constants (**). ri**'**
Cylindre elliptique ou hyperbolique.
10a. Dans l’équation (A), supposons toujours H positif, et annulons un ou deux des coefficients P, P', P"; nous obtiendrons les résultats suivants , qu’il suffit d’énoncer :
(*) Généralement, toute ct/uation homogène entre trois coordonnées rectilignes représente l’origine ou un cône ayant l’origine pour centre.
'(**) Si l’on prend, par exemple, l cquation de l’hyperboloïde à une nappe,
qu’on y fasse - = m ,
elle se réduira , lorsque c = o , à
Dans cette équation du cône, on peut, pour la symétrie, remettre - et au lieu de.ni et, de 'n,'eti’on'*trouve
etc.
i°. Px 3 +Py=Il : cylindre droit, a base elliptique;
1 °. Px 3 — Py = H : cylindre droit , à base hyperbolique ;
3°. P.r 3 = H : deux plans parallèles ;
4°. — P 'y 1 = H : lieu imaginaire.
106. De même, les équations (4) ou (5) donnent lieu aux variétés suivantes:
i°. Pjr'+P'j 3 = o : une droite;
2 °. P.r 3 — P" s 3 = o : deïix plans qui se coupent ; Px 3 = o : deux plans confondus en un seul.
Cône asymptotique d’un byperboloïde.
Jjf.
