La môme discussion, appliquée aux équations

Px 3 - P'/— P’z 3 = H, (3) Px’-Py-Fz^o, (4)

montre que l hyperboloïde a deux nappes est intérieur à son cône asymptotique.

EXERCICES

I. Théorème . — i° Les sections faites dans une surface du second ordre , par des plans parallèles , sont des courbes semblables et semblablement placées; a° le lieu des centres de ces sections est un diamètre de la surface.

II. Théorème. — i° Les sections faites par un même plan, dans un hyperboloïde et dans le cône asymptotique , sont deux courbes semblables et semblablement placées ; a° si ces sections sont des ellipses ou des hyperboles , elles sont concentriques.

III. Théorème. — Le cône asymptotique d’un hyperboloïde est le lieu des asymptotes des hyperboles que l’on obtient en coupant l’hyperboloïde par des plans passaut en son centre.

IV. Théorème. — Toute surface à centre ( non de révolution ) admet deux séries de sections circulaires (*).

V. Théorème. — La courbe résultant de l’intersection de deux cônes de révolution dont les axes sont parallèles, est telle, que la somme des distances de chacun de ses points aux sommets des deux cônes, respectivement multipliées par des constantes, est une constante. Cette courbe, ainsi que les ovales de Descartes t admet un troisième foyer (** ). ( Théorème de M. Chasles .)

VI. Par le centre d’un ellipsoïde , on fait passer des plans qui déterminent des ellipses d’aire constante : quel est le lieu des perpendiculaires à ces plans , menées par le centre?

Réponse : Un cône du deuxième degré, dont les axes principaux coïncident , en direction , avec ceux de l’ellipsoïde.

VII. Trouver le lieu des foyers des sections faites dans un ellipsoïde , par des plans passant en son centre.

VIII. Étant donnés un cône du second ordre et un point dans son intérieur, mener un plan tel , que la section ait pour foyer le point donné.

(*) Ce théorème a été démontré pour le cène oblique, à base circulaire. (D. D., 302. )

(**) Les deux premiers foyers sont les sommets des cônes donnés.