Ces surfaces sont représentées (83) par l’équation

Py + PV + aQ.r = o, (B)

dans laquelle le coefficient de x est différent de zéro. Les axes étant supposés rectangulaires , il résulte , de l’inspection de cette équation , que les plans zx et xy sont les seuls plans principaux de la surface (*).

110. Sans rendre la discussion moins générale, on peut admettre que le coefficient Q est négatif : s’il était positif, on changerait x en — x' ( D . D., 315). De même, on peut exclure le cas où les coefficients P, P' seraient tous deux négatifs. Cela posé , l’équation (B) aura nécessairement une des trois formes suivantes :

Pj J + P'z J = 2 Q.r, Py-P'z J = aQar, P/ J =aQ.r.

Paraboloïde elliptique.

111. Sections principales , axe , sommet, etc. — Cette surface, représentée par l’équation

Py+P'z 5 = 2Qx, (i)

s’étend indéfiniment à la droite du plan des rz; elle a pour traces, sur les deux plans principaux xOy, xOz, les paraboles principales AOA', BOB', respectivement représentées par

j ^Qx 3 aQ.r

(*) L’équation qui donne les directions des droilcs principales est

Elle admet pour racines P', P" et zéro. Les droites principales répondant à cette valeur nulle de s sont parallèles h l’axe des x ( 77 ) ; mais, comme chacune d’elles rencontre la surface en un seul point, elles ne déterminent pas de cordes; etc.

Si l’on représente par ip et ip' les paramètres de ces sections

principales, on pourra écrire ainsi l’équation (i) :

L’intersection Ox des deux plans principaux est l’axe du paraboloïde : le point O, où il perce la surface , en est le sommet.

112 . Sections parallèles aux plans coordonnés. — A l’inspection de l’équation ( 2 ), on reconnaît que: 1 0 les sections parallèles au plan principal xOy sont des paraboles CDC' égales à la section principale AOA'; 2 0 les sections parallèles au plan principal xOz sont des paraboles égales a la section principale BOB'; 3° les sections perpendiculaires h F axe sont des ellipses semblables, dont les sommets sont situés sur les paraboles principales.

113 . Sections par des plans quelconques. — Soit z — mx-\-ny-\-q l’équation du plan sécant. Éliminant z, on trouve

Le binôme caractéristique se réduit à — PP' «P, quantité essentiellement négative , à moins que m ne soit nul. Par conséquent : i° les sections non parallèles à F axe sont des ellipses ; 2 0 les sections parallèles à l'axe sont des paraboles. De là , le nom de paraboloïde elliptique. •

114. Génération de la surface. — Les sections perpendiculaires à l’axe étant des ellipses semblables (112, 3°), on pourrait adopter un mode de génération analogue à celui des surfaces à centre (92, 96,100) ; mais il est bien plus simple de faire mouvoir P une des deux paraboles principales parallèlement h elle-même, de manière que son sommet parcoure F autre parabole principale (112, i°). Cette génération remarquable accuse nettement la forme de la surface.

113. Paraboloïde de révolution. — Lorsque p’ = p, l’équation ( 4 ) devenant i

+ ipx, %

elle représente une surface de révolution autour de l’axe Ox, à section méridienne parabolique.

Paraboloïde hyperbolique.