Cette surface, représentée par l’équation

Vÿ*= ciQ.r,

peut être regardée comme un cas particulier de chacun des deux paraboloïdes (110). Elle a un seul plan principal, qui est celui des zx.

(*) De la résulte que les plans GO x, G'Ox peuvent, jusqu’à un certain point, être considérés comme étant asymptotiques. Il ne faut pas oublier, cependant, qu’ifc coupent le paraboloïde et que, dans la direction xOx', ils s’en éloignent indéfiniment.

(**) Sous-entendu : ou des variétés de ces courbes.

ANALYTIQUE. 5g

Résumé des deux derniers chapitres.

■123. Une équation du deuxième degré, entre des coordonnées rectilignes, peut représenter cinq genres principaux de surfaces:

I er genre. Ellipsoïde. — Variétés: point, lieu imaginaire, cylindre elliptique , droite, deux plans parallèles, deux plans confondus en un seul.

2 ' GENRE. Hyperboloïde à une nappe. — Variétés : Cône , cylindre hyperbolique, deux plans non parallèles.

3* GENRE. Hyperboloïde à deux nappes.

4' genre. Paraboloïde elliptique. — Variété : cylindre parabolique.

5' GENRE. Paraboloïde hyperbolique (*).

EXERCICES

I. Théorème. — Le paraboloïde elliptique (non de révolution) admet deux séries de sections circulaires.

II. Théorème. — i°. Le paraboloïde elliptique peut être regardé comme la limite d’une série d’ellipsoïdes ou d’hyperboloïdes à deux nappes, dans lesquels deux sections principales auraient même sommet et même foyer. i°. Le paraboloïde hyperbolique peut être regardé comme la limite d’une série d’hyperboloïdes à une nappe dans lesquels deux sections principales auraient même sommet et même foyer ( D . D., 319, 320).

III. Théorème. — Les droites qui rencontrent en un seul point la surface d’un paraboloïde sont parallèles à l’axe.

(*) Pour éviter un double emploi , nous n’avons cité qu’une seule fois les variétés qui appartiennent à plus d’un genre principal.