Remarques. — I. Si les génératrices (A) et (B

sont parallèles.

U. Les génératrices des deux systèmes sont respectivement parallèles.

ii. 6

129. Théorème IV. — Par chaque point de Vhyperboloïde passent deux génér atrices rectilignes.

En effet, pour tout système de valeurs de x, y, z vérifiant l’équation (i), les équations (A) donneront une même valeur de et les équations (B) une même valeur de w.

130. Remarque. — Par un point quelconque M, il ne passe que deux génératrices rectilignes MA , MB.

Soit, s’il est possible, MC une troisième génératrice passant enM. Par différents points de cette droite, menons des génératrices du système (B) : elles rencontreront MA (127), et, par conséquent, elles seront dans le plan CAM ; ce qui est impossible (126).

131. Théorème V. — Les projections des génératrices , sur les plans des sections principales, sont tangentes à ces courbes.

Considérons, par exemple, la section principale elliptique représentée par

Les équations d’une génératrice du système (A) étant

la projection de cette droite, sur le plan de l’ellipse, sera représentée par

Les lignes ( a) et ( 3 ) se toucheront, si l’élimination de x conduit à une équation dont les racines soient égales. Or, cette équation est

donc, etc.

132. Théorème VI. — Les génératrices de Vhyperboloïde sont parallèles aux génératrices du cône asymptotique.

Le cône ayant pour équation

une quelconque de ses génératrices peut être représentée par

a c b' a c Ob'

elle est donc parallèle , en même temps , à deux génératrices de l’hyperboloïde.

133. Corollaires. — I. Trois génératrices (P un même système ne sont jamais parallèles h un meme plan.

En effet, ces trois droites sont respectivement parallèles à trois génératrices distinctes du cône asymptotique , et celles-ci ne sont pas dans un même plan.

II. L'hypcrboloïde à une nappe peut être engendré par une droite G qui s'appuierait sur trois génératrices A , A', A" d’un meme système , prises comme directrices.

En général , le mouvement d’une droite assujettie à rencontrer trois directrices, rectilignes ou curvilignes, est complètement déterminé. Par conséquent, la droite mobile G coïncidera, successivement , avec les génératrices B, B', B", . . . , du second système. Donc elle engendrera l’hyperboloïde.

134. Théorème VII. — Lorsqu’une droite mobile s’appuie constamment sur trois droites fixes A, B, C, non parallèles à un meme plan et telles, en outre, que deux quelconques d'entre elles ne

soient pas dans un meme plan, la surface ainsi engendrée est un hyperboloïde à une nappe {*).

Par chacune des directrices A, B, C, faisons passer deux plans, respectivement parallèles aux deux autres droites: nous obtiendrons ainsi un parallélipipèdc dont A , B, C seront trois arêtes. Si nous prenons pour origine le centre du parallélipipède, et pour axes, des parallèles aux arêtes , les équations des directrices seront

Zz=C,

(’) Cette proposition est la réciproque du corollaire précédent.

Quant à la génératrice, elle peut être commodément représentée

par

car ces équations appartiennent à toutes les droites qui rencontrent A et B (36). En exprimant que cette génératrice s’appuie sur(C), nous obtenons ■ -

— b — I - le — |x a — o j

d’où enfin ayz -f- bzx -(- cxy + abc — o. ( 4 )

Cette équation représente une surface du second ordre, qui a pour centre unique l’origine, et qui admet des génératrices rectilignes, tandis que l’ellipsoïde et l’hyperboloïde à deux nappes n’en admettent évidemment pas ; cette surface est donc un hyperboloïde à une nappe.

135. Remarque. — Le calcul précédent met en évidence le second mode de génération de l’hyperboloïde. En effet, si l’on remplace les arêtes A , B , C par A', B', C', les équations de ces nouvelles directrices seront

d’où il résulte que, pour obtenir la nouvelle équation, il suffirait de changer, dans l’équation (4), «, b , c, en — a, — b, — c : la seconde surface coïncide donc avec la première. Do plus , les nouvelles directrices sont des positions particulières de la première génératrice ; car A', par exemple, est parallèle à A et rencontre B et C.

136. Théorème VIII. — La surface engendrée par une droite qui tourne autour d’un axe fixe, non situé dans un même plan avec elle, est un hyperboloïde de révolution à une nappe.

Prenons la droite fixe pour axe des z , et, considérant la droite mobile dans une position particulière BC, adoptons pour axe des y la plus courte distance OB des deux droites. Les coordonnées étant rectangulaires, la droite BC pourra être représentée

par

y= b , ^ = tanga, (5)

Cela posé, changeons le mode de génération donné; et, considérant BC comme une directrice , prenons pour génératrice un parallèle quelconque de la surface de révolution. Les équations do ce parallèle seront évidemment

X et u étant deux paramètres. L’élimination de x, y, z entre les équations (5), (6) donne l’équation de condition

H 3 COt J a -f- b 3 — X 3 ;

d’où ,x 3 -\-y 1 — z î cot J a = ^ î ,

équation d’un hyperboloïde de révolution à une nappe.

Paraboloïde hyperbolique.

137. Théorème IX. — Le paraboloïde hyperbolique admet deux systèmes de génératrices rectilignes.

yJ .3

L’équation - == 7 . x ( i )