Remarques. — I. Les équations

v p Vf w> v?

représentent les deux plans directeurs du paraboloïde, c’est-àdire les plans auxquels les génératrices sont parallèles. Ces plans GO x, G'Ox passent par l'axe O# du paraboloïde et par les deux génératrices OG , GO' situées dans le plan des yz (118).

/ IL Les génératrices du système (A) se projettent, sur ce dernier plan, suivant des parallèles à OG; et les autres génératrices, suivant des parallèles à OG'.

141. Théorème XI. — Deux génératrices d’un même système ne sont pas dans un même plan.

Cette proposition , qui résulte de la seconde remarque, peut aussi se démontrer par le calcul suivant :

Soient

Vp + h a) "’

s! p Vp' l

Vp VF'

Vp VF'

les équations de deux génératrices d’un même système. L’élimination de y et de z conduit à la relation

qui ne saurait avoir lieu si A et A' sont deux droites différentes.

142. Théorème XII. — Deux génératrices de systèmes différents sont toujours dans un meme plan.

En effet, l’élimination do x, y, z, entre les équations (A) et (B) (137), conduit à l’identité

ik 2

143. Remarque. — Le paraboloïde hyperbolique réadmet pas de génératrices parallèles.

144. Théorème XIII. — Par chaque point du paraboloïde passent deut génératrices rectilignes (129).

145. Remarque. — Par un point quelconque du paraboloïde, il ne passe que deux génératrices rectilignes (130).

146. Théorème XIV. — Les projections des génératrices , sur les plans des sections principales , sont tangentes à ces courbes (131).

147. Corollaire. — Le paraboloïde hyperbolique peut vire engendré par une droite G qui s'appuierait sur trois génératrices d'un meme système , prises comme directrices (133, II).