Théorème XV. — Lorsqu'une droite mobile s’appuie con

stamment sur trois droites fixes A , B , C , parallèles à un meme plan et telles , en outre , que deux quelconques d'entre elles ne soient pas dans un même plan, la surface ainsi engendrée est un paraboloïde hyperbolique.

Prenons, pour axe des x , la droite A; pour axe des z , une position particulière de la génératrice; et, pour axe des /, une parallèle à B. Les équations des trois directrices seront

= ax.

) \"/ i \ vj / ) ,

D’ailleurs, la génératrice peut être représentée par

y = lz, x=p(z-c );

et, pour qu’elle rencontre C, les paramètres k, a doivent satis-

faire à la condition

lc' = ap (c ' — c).

Par suite, la surface engendrée a pour équation c'y(z-c) — a (c* — c) xz — o.

Comme les équations du centre

sont incompatibles, et que d’ailleurs la surface est engendrée par une droite, elle est nécessairement un paraboloïde hyperbolique.

149. Remarque. — Les génératrices du système auquel appartiennent A, B, C sont représentées par

2=7, c'y( 7 — c) — a(c' — c)yx — 0.

150. Théorème XVI. — Lorsqu'une droite s'appuie sur deux droites fixes A, B non situées dans un meme plan , en restant parallèle, à un plan donné P, elle engendre un paraboloïde hyperbolique.

Nous prendrons pour axe des y la droite qui joint les traces C, D

des directrices sur le plan directeur P ; pour origine , le milieu O de CD; pour axe des x , l’intersection du plan P avec le plan A'OB', parallèle aux directrices. Enfin, OA', OB' étant des parallèles à ces droites, nous choisirons, pour axe des 2, le diamètre des cordes MN parallèles à Ox. De cette manière, les équations des directrices sont

— uz.

La génératrice , étant parallèle au plan des xy, sera représentée par 3 = 7, x — uy-\-p.

Pour qu’elle rencontre les deux directrices, les trois paramètres « , P , 7 doivent satisfaire aux conditions

ay = boc + p, — «7 = — bct-\-p\

ou plutôt à ces deux-ci :

(3 = o (*), aq — b'x.

On en conclut, pour l’équation do la surface,

ayz — bx — o ;

etc.

EXERCICES

I. Lieu des points également distants de deux droites non situées dans un môme plan ( paraboloïde hyperbolique).

II. Lieu des points également distants d’une droite et d’un plan qui se coupent ( cône du second degré).

III. Lieu dé rit par l’arète d’un angle dièdre droit, dont les faces passent respectivement par deux droites données, non situées dans un même plan ( hyperboloïde h une nappe).

IV. Théorème. — Lorsque deux surfaces du second ordre se coupent, si la courbe (Ventrée est plane, la courbe de sortie l’est pareillement.

V. Théorème. — Lorsque deux surfaces du second ordre ont un plan principal commun, leur intersection se projette, sur ce plan principal, suivant une conique.

VI. Lieu des points tels , que la distance de chacun d’eux à un point quelconque d’une ellipse donnée soit une fonction rationnelle et du premier degré des coordonnées rectilignes de ce dernier point ( une hyperbole située dans un plan perpendiculaire h celui de Vc/lipse, ayant pour sommets les foyers de Vcllipsc, et réciproquement).

VIL Théorème. — Si une ellipse et une hyperbole , situées dans deux plans perpendiculaires entre eux , sont telles, que les sommets de l’une des courbes soient les foyers de l’autre, tout cône ayant pour base l’ellipse et pour sommet un point de l’hyperbole est un cône de révolution.

VIII. Théorème. — Par le sommet de tout cône du deuxième degré passent deux droites faisant , avec une génératrice quelconque, deux angles dont la somme est constante.

(*) Cette valeur de /3 apprend que la génératrice rencontre, à chaque instant, l’axe 0 1 . Des considérations géométriques fort simples peuvent servir à démontrer la même propriété.

IX. Théorème. — Les cordonnées étant supposées rectangulaires, les deux équations

[ ( b'c " - b"c' ) x + ( c'a “ - c”a‘ )y+(a' b" - a" b 1 ) z] 1 + [{b"c -bc”)x -h(c"a — ca“)y +{a"b - ab")zY + [(£c' — b' c)x -\-{ca! — c'a)y + [ab' — a'b)zY — i, [(b'c n — b"c')x + {b" c — bc")y -\-(bc‘ — b'c)zY + [(c'«''— c"a') x-\-(c"a — ca n )y -{-(c'a — c«')z] 5 -\-[{a'b” — a"b')x + (a"b — ab")y -\-(a'b — oô')z] 3 =i représentent deux ellipsoïdes égaux ( Théorème de Jacobi).