CHAPITRE XI

DISCUSSION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES DU SECOND DEGRÉ, A TROIS VARIABLES.

Préliminaires.

151. Pour déterminer la nature du lieu représenté par une équation numérique

/(x, y, z) = Aar , + A'j 1 - 4 -A"z 5 -f- 2 Bjz + 2 B'zr— \-iB"xy )

+ aCx-t— aC'j-l-2C"z-}-D = o, ) '

on commence par chercher s’il admet un centre unique, une droite lieu des centres, un plan lieu des centres, ou enfin s’il est dépourvu de centre. A cet effet, on formera les équations du centre (70):

f x —— A x — 1“ B’ z — f- B" j -4- C = o, j /; = A'jr+B"x + B z+C' = o, (a)

et, en cherchant à les résoudre, on saura quel est celui des quatre cas auquel se rapporte l’équation proposée (71).

Premier cas : un centre unique.

152. En transportant les axes parallèlement à eux-mêmes, de manière à prendre le centre pour nouvelle origine, on réduit ( 70) l’équation (1) à l’une des deux formes

Ajt’ 4- A'/ 2 -!- A"z J + 2B/z + 2B'z^ + aB".rj= o, (3) Ax i -{-X'y 1 +A"z 2 +7. Bfz 4- 2 B'z.r 2 B " xy — H. (4)

Or (103) : i°. L’équation (3) représente un cône ou l’origine ;

2 0 . L’équation (4) peut représenter : un ellipsoïde, un hrperboloïde à une nappe , un hyperboloïde à (leux nappes , ou un lieu imaginaire.

153. L’équation (3) représentera un cône si l’on peut mener, par l’origine , un plan qui rencontre le lieu suivant deux droites. En particulier, si les sections faites par les plans coordonnés ne se réduisent pas , toutes les trois , à l’origine , le lieu sera certainement un cône.

154. Quand l’équation (3) est vérifiée seulement par x = o, y = o, z = o, le lieu se réduit à Vorigine. Il est facile de reconnaître que les conditions nécessaires pour que ce cas particulier se présente , sont :

B 2 — A'A"<o, B' 2 — A"A<o, B" 2 -AA'<o,

AA' A" 4- 2 BB'B"- AB 2 - A'B' 2 - A" B" 2 > o (*).

155. Pour discuter l’équation (4), on peut toujours, préalablement, rendre H positif dans le second membre. Cela posé, il existe, entre les longueurs des axes principaux de la surface que cette équation représente, et les racines de l’équation caractéristique (77), une relation remarquable , exprimée par la proposition suivante.