TuÉORÈME. — Les carrés des demi-axes principaux (réels

OU imaginaires) de la surface (4) ont pour valeurs —•> —,1 s, s', s"

étant les racines de l’équation caractéristique.

Représentons par u la longueur d’un de ces demi-axes et par x, y, z les coordonnées du sommet , réel ou imaginaire , auquel il aboutit : ces quatre quantités sont déterminées (77) par les équa-

(*) On suppose A > o.

lions

abc

Afl + B7; + B V A7/ + Bf + B"fl AV + B , fl4 B6

a b c -IP/

Or, l’élimination do x, /, s entre les équations (4) et (a) donne

“ A «* + A' A* 4- A" c 5 + 1 B bc 4- a B' en + B" ab ’

et, d’un autre côté, les rapports égaux (p) donnent, à cause do a 1 -\-b i +c i ~ i,

s = A a’ -4- A' A’ + AV -f- 2 B bc -H a B'ca ■+■ B"ab ; donc , etc.

157. Remarque. — Toute surface à centre unique ayant au moins trois axes principaux, les valeurs de u? sont réelles et finies ; donc il en est de même pour les valeurs de s ; donc f équation caractéristique a scs trois racines réelles et différentes de zéro. Ce résultat est conforme à ce que l’on a vu plusieurs fois.

158. Reprenons à présent la discussion do l’équation (4). L’application du théorème de Descartes [Alg., 279) fera connaître le nombre des racines positives et le nombre des racines négatives de l’équation caractéristique ; donc , d’après le théorème précédent :

L’équation (4) représente un ellipsoïde , un hjrperboloïde à une nappe, un hjrperboloïde à deux nappes , ou un lieu imaginaire , suivant que le nombre des variations de l'équation caractéristique est trois , deux, un ou zéro.

159. Remarque. — Le théorème ci-dessus (15G) suppose les axes coordonnés rectangulaires ; mais la règle contenue dans la dernière proposition est applicable aux coordonnées obliques. En etfet, si l’on transforme la surface donnée S en une autre surface S', do manière qu’à tout point M de la première , ayant pour coordonnées obliques x, y, z, corresponde, sur S', un point M' dont les coordonnées rectangulaires x', y\ z' soient respectivement égales à x, y, z, cette seconde surface, évidemment de meme espèce que la première, sera représentée par l’équation (4), dans laquelle on changerait seulement x, y, z en x', y', z'. L’espèce do la surface S sera donc déterminée par la règle précédente.

Deuxième cas : une droite lieu de* centre».

160. On peut encore (mais cela n’est pas indispensable) ramener l’équation ( 1 ) à l’une des deux formes (3), (4), en prenant un des centres pour nouvelle origine. Cela posé :

i°. L’équation (3) peut représenter une droite ou deux plans non parallèles ;

2 0 . L’équation (4) peut représenter un cylindre elliptique , un cylindre hyperbolique ou un lieu imaginaire. On détermine l’espèce du lieu en considérant les sections faites par les plans coordonnés.

161. Remarque. — Quand l’équation ( 1 ) représente une droite, cette ligne est le lieu des centres; par conséquent, V équation ( 1 )

équivaut au système des équations f' x = o, f' r — o. En même temps

le premier membre de cette équation est , d’une infinité de manières, décomposable en la somme de deux carrés ( D . D., 124, IV ).

Troisième cas : un plan lieu des centres.

162. Dans ce cas, l’équation ( 1 ) représente en général deux plans para// 'les, symétriquement placés par rapport au lieu des

• centres, et dont les variétés sont : deux plans confondus en un seul, ou un lieu imaginaire (73). Les sections faites par les plans coordonnés déterminent la nature du lieu.