Remarque. — Le premier membre de l’équation ( 1 ) est

à un facteur près , égal à (/j) 1 — a, l étant une quantité réelle.

Quatrième cas : aucun centre.

164. Lorsque les équations du centre sont incompatibles, la surface représentée par l’équation ( 1 ) est un paraboloïde elliptique, un paraboloïde hyoerbolique , ou un cylindre parabolique.

Pour reconnaître auquel de ces trois genres appartient la surface, il suffit de former les binômes IP — A' A", B' J — À"A, B Bî — AA': i° s’ils sont nuis tous trois, la surface est un cylindre ; i° suivant qu’un de ces binômes (au moins) est négatif ou positif, la surface est un paraboloïde elliptique ou un paraboloïde hyperbolique.

On justifie cette règle en observant que : i° dans un paraboloïde 11 . 7

quelconque , les sections paraboliques sont parallèles à taxe (113, 120) ; 2 ° les trois plans coordonnés ne peuvent être parallèles à une meme droite ; 3° le paraboloïde elliptique réadmet aucune section hyperbolique ; etc. (113).

Complément de la discussion des surfaces à centre unique.

165. L’équation caractéristique fait bien connaître l’espèce de la surface représentée par une équation donnée , mais elle n’apprend rien quant à la forme de la surface , à sa situation relativement aux plans coordonnés , etc. Nous allons donc reprendre la discussion des surfaces à centre unique, en adoptant une marche analogue à celle que l’on suit pour les courbes du second ordre ( D . D., Chap. XI). Cette seconde méthode, qui complète la première, peut même en tenir lieu, car elle n’exige pas la formation de l’équation caractéristique.

166. Supposons, comme dans le n° 152, que l’équation proposée ait été ramenée à la forme

Xx 7 + H, (i)

le second membre 11 étant positif. Si A" n’est pas nul , les deux valeurs de a seront données par la formule

z = my nx ziz y/ ay 3 -f - bxy 4- ex 5 +/, ( i)

dans laquelle ni =

etc.

En raisonnant comme dans le chapitre cité , on conclut que : i°. z^ — my+nx (3)

représente un plan qui divise en deux parties égales les cordes parallèles à l’axe des z : c’est le plan diamétral conjugué à cet axe ,

2 °. Z = \J aj 3 -\-bxy-\-cx 1 -\-f (4)

est Cordonnée comptée à partir du plan diamétral ;

3°. La courbe suivant laquelle la surface est coupée par son plan diamétral est déterminée par les équations

3—my-i-nx, (3) ay 3 -\-bxy + cx i +f = o: (5)

cette dernière, qui représente un cylindre dont les génératrices sont parallèles à Taxe des z (*), représente aussi la projection de la courbe d’intersection, faite sur le plan des x y.

167. Remarquons à présent que la partie du plan des xy, sur laquelle se projettent les points de la surface satisfaisant à l’inégalité

uy 3 -4- bxy -+- ex 1 -\-f > o , (6)

est séparée, du reste de ce plan, par la courbe (5), dont il vient d’être question (**). D’ailleurs l’équation (5) peut représenter une ellipse, un lieu imaginaire, ou une hyperbole ; donc nous avons à examiner trois cas principaux.

168. Premier cas : V équation (5) représente une ellipse. — Suivant que la surface se projette à P intérieur ou à P extérieur de cette courbe, elle est évidemment un ellipsoïde ou un hyperboloide à une nappe; d’après l'inégalité (6), on a donc:

Pour f > O, un ellipsoïde ;

Pour / < o, un hyperboloïdc à une nappe.

169. Deuxième cas : l'équation (5) représente un lieu imaginaire. — Lorsqu’il en est ainsi , le premier membre de cette équation reste toujours positif ou toujours négatif; et , conséquemment, l’équation (i) représente un hyperboloïdc à deux nappes, ou un lieu imaginaire. Donc

Pour /> o, un hyperboloïdc à deux nappes;

Pour f < o, un lieu imaginaire .

170. Troisième cas: l’équation (5) représente une hyperbole. — Une discussion toute semblable à la précédente conduit à ce résultat :

Pour/ >o, un hyperboloïdc à une nappe;

Pour / < o, un hypcrboloïde à deux nappes.

171. Nous avons supposé, dans ce qui précède, A" différent de

(*) Ce cylindre est tangent à la surface , tout le long do la courbe dont il s’agit. (Voyez le Traité de Géométrie descriptive.)

(**) La courbe d’intersection de la surface et du plan diamétral est la contour apparent de la surface, relatif au plan des xy; la courbe ( 5) est donc la projection du contour apparent. ( Géométrie descriptive.)

zéro. Si ce coefficient est nul , c’est-à-dire si le terme en z 1 manque, et qu’il en soit de même pour y' et P our l’équation (i) prend la forme

Byz-[-B'zx + B"xy=\\. (7) (*)

Dans cette nouvelle équation , les trois coefficients B, B', B" sont différents de zéro , sans quoi la surface aurait une infinité de centres , contrairement à l’hypothèse. Cette surface, évidemment indéfinie dans tous les sens, est donc un des deux hyperboloïdes. De plus , l’équation du cône asymptotique est

Byz -1- B'z^r + B" xy = o. (8)(**)

172 . On a vu, dans le Chapitre X, que les génératrices de l’hyperboloïde à une nappe sont respectivement parallèles aux génératrices du cône asymptotique. Or le cône (8) admet, pour une de ses génératrices, l’axe des z. Conséquemment, pour que la surface (7) soit un hyperboloïde à une nappe, il faut et il suffît qu'elle contienne une parallèle h P axe des z; ou , ce qui est équivalent , il faut et il suffit que P équation (7) soit rendue identique, par un système de valeurs réelles de x et de y.

Cette condition donne

By-\-B'x=: o, B"xy=\{;

H étant supposé positif, ces valeurs seront réelles si , parmi les coefficients B, B', B", il y en a un nombre impair qui soit négatif, ou, plus simplement, si le produit BB'B” est négatif. Le cas que nous examinons se résume donc ainsi :

BB'B' , <o, hyperboloïde à une nappe ;

BB'B"> o, hyperboloïde à deux nappes.

(*) Pour plus de simplicité, 011 a supprimé le facteur 2.

(**) En effet: i° l’équation (8) représenle un cône concentrique avec la surface (7) ; 2 0 la différence des valeurs de * , représentée par

diminue indéfiniment quand xou/ augmente.

Recherche de* génératrices rectilignes.

173. Hyperboloïde a une nappe. — Pour trouver les génératrices rectilignes d’une pareille surface , représentée par

A^+A'jr 2 + A''z , + 2Bjz-+-2B'jrz-f-2B"xj= H, (i)

essayons de mettre cette équation sous la forme

L, M, N étant des polynômes du premier degré , contenant x,y,z: si cette transformation peut être effectuée, les génératrices d’un des systèmes seront déterminées (124) par les équations

et celles de 1 autre système par les équations