L-f-M = jx(i — N), L-M = i(i-N

174. En supposant A différent de zéro , et en groupant convenablement les termes qui contiennent x, nous pourrons écrire l’équation (i), d’abord sous cette forme:

(Ax+B'z-f (B' z -|- B"j) 3 -f- AA'j 3 A A" z 3 2 AB jz = AU ,

puis sous celle-ci :

(A*4-B'z + B"/)»— (B"*- AA')/ 1 - 2 ( B'B"- AB) yz — (B' 3 — AA") z 3 = AH.

Si le binôme B" 3 — AA' n’est pas n placer la dernière équation par

nous pourrons encore rem-

( B" 3 — AA' ) (A x + B'z -f- B"r) 3 — [(B 3 — AA')j-|-(B'B" — AB)z] s — AAz 3 f (5) = AH (B" 3 -AA'), \ [ ’

en posant, comme dans le Chapitre V,

A = AA' A" 4- 2 BB'B" — AB 3 — A'B' 3 — A" B" 3 , et 1 équation (5) sera celle que nous cherchions.

En effet, si l’on suppose l’hyperboloïde rapporté aux plans dont

les équations sont

Ax4-B'a+B>=o, (B' 1 - AA')^+(B'B'- AB)z = o, z=o(*),

les nouvelles coordonnées X , Y, Z (P un point quelconque (x, y, z) seront égales aux premiers membres de ces équations , respectivement multipliés par des constantes réelles a, (3, y (**) ; de sorte que P on aura, au lieu de féquation ( 5 ),

AH a AH (B” — AA ') 1 B” — AA'

Or cette dernière équation, qui a la forme Px , -f-P'/ , 4-PV= 1, représente, par hypothèse, un hyperboloïde à une nappe; donc deux des coefficients P, P', P“ doivent être positifs, le troisième étant négatif.

Admettons, pour fixer les idées, que les quantités A, A et B” — AA' soient positives; alors, en comparant les équations (5) et (a), nous pourrons prendre

(Ax-t-B'z-f-B"x) î L = ,

.«.[(B*- AA')j+(B'B*— AB) z]’