A"II(B' J — A H A

(') Le troisième plan est évidemment celui des xy. Le deuxième est le plan diamétral conjugué à l'axe des x (70, II ).

(**) Pour abréjer, nous supprimons la démonstration, qui ne saurait embarrasser le lecteur.

II. Chacune des équations ( 5 ), (6), (7) représente la surface (1), rapportée à un système de diamètres conjugués (*).

III. Si la surface, au lieu d’ètre, comme on le suppose, un hyperboloïde à une nappe , est un ellipsoïde ou un hyperboloïde à deux nappes, les équations ( 5 ), (6), (7) auront la forme

dans le premier cas , et la forme

dans le second.

IV. Conséquemment, la décomposition du premier membre de l’équation (1), en une somme ou une différence de carrés , constitue, une troisième méthode de discussion des surfaces à centre (**).

176 . Nous avons supposé, dans ce qui précède , les quantités A et B" 3 — AA' différentes de zéro (***). Si ce binôme est nul sans que A le soit, le trinôme Ax 3 4-2B"xj-t- A'7 3 est un carré, et l’on peut écrire ainsi l’équation (1) :

Az(A"z-(-Bj+B'^) = AH - ( Aar-f-B’j)’. (8)

Le produit AH est nécessairement positif, sans quoi le plan des xy } qui passe par le centre, ne couperait pas la surface, ce qui ne saurait avoir lieu , cette surface étant un hyperboloïde à une nappe. Le second membre de l’équation (8) est donc égal au produit des facteurs réels v/AH + (Ax- 4 -Bj"), v^AlI (Ax-t-B^) ; et, conséquemment, les génératrices de l’un des systèmes sont représentées par

Az =>(v/ÂH + Aæ4-Bj), 1

A"z4-B/4-B'.r= ^(v/AH — Ax — B/), j

(*) Dans toute surface du second ordre, trois diamètres sont dits conjugués, quand chacun d’eux est parallèle aux cordes que le plan des deux antres div ise en parties égales.

(**) Nous engageons Je lecteur à étudier une très-savante Note de îlf Hermite, insérée dans le Programme rédigé par MM. Gerono et Rogurt.

(***) Plus généralement, au moins un des coefficients A, A', A , différent de zéro, ainsi que le binôme correspondant.

8 e GÉOMÉTRIE

et celles de l’autre système par

Az = p (y/ÂH — Ax — Bj),

A"z + Bj+B'x = - (y/ÂH + Ax + Br)- P