Passons au cas général d’uno courbe représentée par

Dans ces deux équations , x et y sont des fonctions implicites de z. Nous aurons donc [Alg., 214), en conservant la notation précédente ,

jr'F' -H.i 'F). -f- F' = o, x'4>’ x +y^' r + 4»' = O. (5)

On pourrait résoudre ces dernières équations par rapport à x\ après quoi l’on substituerait, dans les équations (3), les valeurs trouvées pour ces deux inconnues; mais il est évidemment plus

simple de remplacer, dans les équations (5), x‘ par - — : et y'

La Z

par - — *-• On obtient ainsi, pour les équations de la tangente,

Su plan tangent et de la normale.

203. Théorème. — Les tangentes en un pointai d’une surface, à toutes les courbes menées de ce point sur In surface , sont situées dans un même pian, appelé plan tangent à la surface.

Ce théorème résulte immédiatement des équations (6). En effet, chacune de ces équations représente un plan qui passe par le point M (x, y, z), et dont la position dépend d’une seule des deux surfaces caractérisées par les fonctions F et <I>. Si donc l’on fait varier cette seconde fonction, on obtiendra différentes courbes, toutes situées sur la première surface, et dont les tangentes appartiendront au premier des deux plans. C’est ce qu’il fallait démontrer (*).

204. Corollaire. — La tangente -en un point de la courbe suivant laquelle se coupent deux surfaces, est l’intersection des plans tangents aux deux surfaces, en ce point.

205. La normale en un point (x, y, z) d’une surface est la perpendiculaire au plan tangent, en ce point. Conséquemment, si les

(*) Nous laissons de côté certains cas exceptionnels ( Géométrie descriptive , seconde partie).

axes sont rectangulaires , les équations de la normale seront

De» lignes considérées comme trajectoires.

206. On peut regarder une ligne quelconque, plane ou à double courbure , comme le lieu des positions d'un point M qui se meut d après une loi déterminée : ce lieu , c’est-à-dire la trajectoire du jsoint , sera complètement défini si les coordonnées x, y, z de M sont exprimées en fonction d’un paramètre t (*).

D’après cette considération , les équations (4 ) peuvent être remplacées par

*=/(Oi r=?(0» «“'HO- ( 8 )

Au moyen de cette convention , la tangente au point M sera représentée par les équations très-symétriques

dans lesquelles x', y\ z‘ désignent les dérivées de x, y, z, relatives à t.

207. Remarque. Si t — z, les équations (9) ne diffèrent pas des équations (3).

Du plan normal.

208. Le plan normal à une courbe , en un point M, est le plan mené par ce point, perpendiculairement à la tangente. De cette définition résulte immédiatement réquation du plan normal :

En effet, cette équation appartient à un plan passant parle point M (x, y , z), et perpendiculaire à la droite représentée par les équations (9).

(*) On peut supposer que t représente le temps, compté à partir de la position initiale du mobile.

9 fi GÉOMÉTRIE

Dérivée de l’arc.

209. Lemme. — La différence entre un petit arc de courbe et la corde correspondante peut devenir aussi petite que Ion voudra par rapport à Parc.

La différence a — c entre l’arc a et la corde c peut évidemment être représentée par af : il s’agit de démontrer que la fraction f s’annule avec a, ou qu’elle a pour limite zéro.

Si cette limite était différente de zéro, la fraction / surpasserait,

à chaque instant, une certaine constante positive et l’on aurait

a — c> ak.

Appliquons cette inégalité aux différents éléments a, a ', a ", . . . , d’un arc quelconque AB; il en résultera

ou , en désignant par A la longueur de AB, et par P le périmètre du polygone inscrit AMM'. . . B :

A— P > AÆ.

Quand le nombre des points de division M, M', M", . . . , augmente indéfiniment , le périmètre P tend vers sa limite A ; donc la dernière inégalité est absurde , etc.

210. Corollaires. — I. La différence entre P arc a et sa corde c

a la forme ai, z ayant pour limite zéro.

II. Le rapport de Parc à la corde, qui décroît avec Parc. , a pour <

limite l'unité (*).

En effet, de a— c = ae, on conclut

211. Théorème. — La dérivée s' (P un arc de courbe, et les dérivées x', y', z des coordonnées du point M qui le termine, sont liées par l'équation

s n = x n -\-y n 4- z' J . (ii)

(*) Le théorème sur la limite du rapport entre un arc et son sinus est un cas particulier de celui-ci.

Soient, comme précédemment

les coordonnées d’un point quelconque M de la courbe AB. Soit s

la longueur d'un arc IM de AB, cet arc étant compté à partir d’une cer- B taine origine I. La quantité s est évidemment une fonction de la variable indépendante t : nous allons démontrer que cette fonction est définie ~ par l’équation ( 1 1 ).

Soit M' un point de AB, aussi voisin qu’on le voudra de M ; soient

.r-f-Ax, jr + Aj, z+Az, .v-f-Af,

les valeurs de x, y, z, s relatives à ce nouveau point. En représentant parc la corde MM', on aura, les axes étant rectangulaires,

(A.r) 3 -+-(A i r) I 4-(Az) î ;

ou, à cause de c = (i — s)A.v (210), et en divisant les deux membres par (A if :

/Ax\

Va t J

AzV

Passant à la limite, étayant égard au corollaire I, on obtient l'équation ( 11 ).

212. Remarques. — I. Le problème de la rectification des courbes consiste à trouver la fonction s, connaissant sa dérivée s' : il ne diffère pas du problème des quadratures ( D . D., 344).

II. D’après les équations ( 9 ) et (n), les cosinus des angles a, S, 7 , que fait la tangente avec les axes, sont donnés par les formules

COS a = — , cos P = sL j,

cos 7

Su plan osculateur.

213. Définition. — Le plan osculateur à une courbe AB, en un point M , est la limite vers laquelle tend le plan passant par la tan- «• 9

gente MT et par la sécante MM' S , lorsque le point M' se rapproche indéfiniment de M (*).

214. Remarque. — Si l’on mène MR parallèle à la tangente M'T', le plan TMR se confondra, à la limite, avec le plan oscillateur.

En effet, l’angle SM'T' a pour limite zéro; donc l’angle des plans TMS , TMR a également pour limite zéro.

215. Equation du plan osculateur. — Pour la trouver, nous commencerons, en nous appuyant sur la dernière remarque, par former l’équation du plan TMR.

Soit A(X — .r) + B(Y— r) + Z — 3 = o (a)

cette équation. Les tangentes MT, M'T' font, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à x\ r', z', et à .r'-f- A.r', r'+A/, z' 4 -Az' (**). Donc (41)

Ax'-f- Bj'-j- z' = o,

A(x'+Aj:')-f.B(/+A/)4-z , 4-As'=o; ou, plus simplement,

Ax'-)-Br' 4 - 3 , = o, (^) AAx'-|-BAr'-t-A 3 '= o. ( y )

L’élimination de A et de B, entre les équations ((3), ( 7 ), (a), donne ensuite

(j'Az'-z'Aj')(X — x)

-f-(z'Ax' — x'A z) ( Y — y)

+ (x’Aj'— j'Ax') (Z — z ) = o.

Divisant tous les termes par A r, et passant à la limite, nous trouvons enfin Y équation du plan osculateur :

(jV-z'/)(X-x) \

+ (z'x"- xV)( Y -y) (,3)

(*) Le plan osculateur d’uue courbe plane est évidemment le plan même de cette ligne.

(**) Il est à peine besoin de rappeler queâx', âr', A*' représentent les accroissements des fonctions x',y', t\ correspondant à l'accroissement A t de la variable t.

Su cercle osculateur.

216. Définition. — Le cercle osculateur à une courbe AB, en un point M, est la limite des cercles ayant, avec cette courbe , une tangente commune MT, et passant par un point M' voisin de M.

217. Axe du cercle osculateur. — Ce cercle, évidemment situé dans le plan osculateur de la courbe , serait déterminé si l’on en connaissait Caxe, c’est-à-dire la droite menée par le centre, perpendiculairement au plan osculateur.

L’axe du cercle quelconque dont le cercle osculateur est la limite, est l’intersection du plan normal en M avec le plan perpendiculaire au milieu de MM'; mais, l’emploi de ce dernier plan conduisant à des transformations assez difficiles à saisir, nous admettrons, pour abréger et simplifier, que l’axe du cercle osculateur est la limite vers laquelle tend Pintersection du plan normal en M avec le plan normal

L’équation du plan normal en M étant

si l’on y remplace x, y, z , x ', y', z< par leurs valeurs en fonction de f, elle prendra la forme

L’équation du plan normal en M' sera donc F(X, Y, Z, =

et l’intersection des deux plans pourra être représentée, soit par ces deux équations, soit par la première jointe à

F(X, Y, Z, f-f-AQ — F(X, Y, Z, t)

A la limite , cette dernière équation devient (**)

(*) Cette proposition peut être rigoureusement démontrée.

(**) La transformation précédente est celle dont on fait usage pour établir la théorie des enveloppes.

IOO GÉOMÉTRIE

Ainsi , F axe du cercle osculateur est représenté par F équation du plan normal et par Féquation dérivée de celle-ci.

Cette équation dérivée est , à cause de la formule (i 1 )

(X-jr).r"+(Y-j)j"+(Z- 2 )z" = y i . (14)

218. Remarque. — - Le centre du cercle osculateur a pour coordonnées les valeurs de X, Y, Z qui vérifient les équations ( 10 ), (i3)

et (14).

219. Rayon du cercle osculateur (*). — Posons, dans ces équations ,

X — x — p cos ), Y — y— p cos y., Z — 2=0 cos v :

0 représente la distance comprise entre le point M de la courbe AB et le centre C du cercle osculateur, c’est-à-dire le rayon de ce cercle ; ), u, v sont les angles que fait la direction MC avec les parties positives des axes. Nous aurons ainsi

,T'cos>.-f-7'cos 1 ti + z'cosv = o,

( y' z z'/")cos)-l- (z'x"— x'z")cosja-+-(x'/" — y'x'')cosv = o,

[x" COS A ~hy" COS H -+- z"cosv] p = s' 1 . ( S )

Les deux premières équations donnent,

cos).

COSU. 1

“ x'{xy-y'x")-z'(y'z"-zY)

COSV

“ y'[y'z"- t'y") - x'(z'x"- x'z")’ cos)

COS,u

“JV’-t-x' 1 ) -y'{z'z"+x'x")

COSv

(*) Pour une raison que nous ne pouvons indiquer içi , ce rayon est appelé aussi rayon de courbure.

A cause de la relation

■y n +z lt = s n , (il)

qui conduit à x'x"+y'y"+ z'z" = s' s", .

nous pouvons encore remplacer les égalités précédentes par celles-ci :

cos'X cos p cosv

en sorte que les trois cosinus sont déterminés.

Substituant leurs valeurs dans l’équation (£ ), on obtient enfin

220 . Remarque. — On conclut aisément, des formules (a) et des équations (i 5 ) et (16):

cos~/ cos p cos v __ p (cos a)' — (cos^)' ~ (cosv)' ~ 7 ’

les accents indiquant des dérivées relatives à t.

EXERCICES