I. Dans le cas de l’hélice, représentée par

x = coat, / = sinf, z = t,

on trouve :

i°. Équations de la tangente :

X — cos t Y — sinf j r — sinf cosf

(*) En effet, la somme des carrés des trois premiers dénominateurs est

= etc.

loa GÉOMÉTRIE

2°. Équation du plan normal:

— Xsinf 4~Ycos*4-Z — < = o;

3 °. * * t'=\px\

sint ' a cosf i

4 °. cos a cos0 = — —, cosv = — ;

V 2 y/i ' yfi

5 °. Équation du plan osculatcur :

Xsinf — Y cos* -+-Z — t = o;

6 °. cos> = — cos t, cos o- — — sinr, cosv = o, p = 2(*).

H. Appliquer les formules (g), ( i o ),...,( 1 7 ) à Y hélice conique, dont les équations sont

x = fcosf, < y = /sinf, z ~ t.

III. Un point parcourt une circonférence pendant que celle-ci tourne autour d’un de ses diamètres , supposé fixe. La vitesse angulaire du point est égale à la vitesse de rotation de la circonférence. On demande : i° les équations de la trajectoire; i° l’équation du plan osculateur de cette ligne; 3 ° l’expression de son rayon de courbure ; etc.

IV. Un conoïde, circonscrit à une sphère, a pour directrice rectiligne une tangente à cette surface, perpendiculaire au plan directeur du conoïde. On demande : i° l’équation du conoïde; 2 0 les équations de la courbe suivant laquelle il touche la sphère; etc.

Résultats :

i°. Équation du conoïde :

2®. Équations de la courbe de contact :

— R J x 5 = o, x î 4-/ 5 -l-z 5 — 2 Rjc = o; ou z* — Rx = o, x’-f-jr*— Rx = o (**);

(*) On déduit, des dernières valeurs, que l’hilicc donnée, et le lieu de ses centres de courbure, sont deux courbes symétriques par rapport à l’axe du cylindre,

(**) Les projections de cette courbe , sur deux des plans principaux du conoïde, sont donc une parabole et un cercle.

ANALYTIQUE. io3

ou encore -r = Rsin 3 /, j = Rsin/cos/, z = Rsin/(*).

3°. Équation du plan oscillateur :

Xsin/ (3cos 3 /-l-sin 3 /) 4- a Y cos 5 / — aZ-j-Rsin 3 / = o.

4°. Rayon de courbure :

t> (I + COS 1 /) 7

p = lv •

^5+ 3 cos 1 /

(*) Les dernières valeurs montrent que la courbe de contact de la sphère et du conoïde est précisément la trajectoire proposée dans la question 111. Des considérations géométriques très-simples conduisent au même résultat.

Cette même courbe jouit d'une propriété curieuse, découverte par Viviani: Si l'on considère te triangle sphérique ayant pour côtés deux quadrants perpendiculaires et la demi-trajectoire passant par leurs extrémités, ce triangle est équivalent au carré du rayon de la sphère.