DE LA VITESSE

20. Vitesse moyenne. — On a vu, plus haut, ce qu’on appelle vitesse dans un mouvement uniforme. Pour arriver à la définition de la vitesse dans un mouvement varié quelconque , nous considérerons d’abord la vitesse moyenne dans un mouvement composé de

(*) On verra bientôt que cette construction graphique donne aussi la vitesse du mobile, engrandeur et en signe.

MÉCANIQUE. in

mouvements uniformes; et, à cet effet, nous nous proposerons la question suivante :

Un mobile a parcouru, successivement ,

La partie A # A, de sa trajectoire, avec une vitesse constante <>,,

quelle serait la vitesse V d’un second mobile qui parcourrait , d’un mouvement uniforme, la trajectoire A„A n , de manière à rencontrer le premier mobile aux extrémités À„ A„ de cette ligne ?

^ A 0 A, A j A a An

Soient i,, t n les temps employés par le premier mobile

à parcourir les espaces A, A,, A 2 A„..., A B ,A„. La formule du n° 16 donnera, puisque les mouvements sont uni formes,

A# A| — e, Z, , A, Aj f j, . . . , A„, A B V" t n .

D’un autre côté , le second mobile doit parcourir uniformément l’espace A 0 A„, dans un temps égal à . la vitesse V

de son mouvement, ou la vitesse moyenne cherchée, a donc pour valeur

ou , ce qui est équivalent,

On reconnaît, dans le second membre, une expression analogue à celle que donnerait la regfe de société ou plutôt la règle des moyennes. La vitesse moyenne V, dans un mouvement composé de mouvements uniformes , est donc égale à la moyenne des vitesses.

21 . Définition de la vitesse. — Considérons à présent un mouvement varié quelconque , et soient A, B, les positions occupées

lia MÉCANIQUE.

par le mobile au bout des temps t, t + \t. Si P on divise la distance AB = A.r, c’est-à-dire X accroissement de P espace, par St, ou par X accroissement du temps, on aura la vitesse moyenne relative

à la partie AB de la trajec-

— — ________ toire. Cette vitesse est celle

x A • 8 ~~"y- d 'un mobile auxiliaire m qui,

partant du point A en même temps que le mobile M, arriverait avec celui-ci en B, après avoir parcouru uniformément la ligne AB. On comprend , sans qu’il soit nécessaire d’insister sur ce point, que le mouvement du mobile auxiliaire différera d’autant moins du mouvement de l’autre mobile, que l’intervalle St sera plus petit. Pour cette raison, on appelle vitesse du mobile M, au bout du temps t, la limite v vers laquelle

tend sa vitesse moyenne , lorsque les accroissements de l'espace et du temps convergent vers zéro.

22. Mesure de la vitesse. — Si la relation entre Pespacc et le temps est donnée sous la forme x=f(t), on aura

«= ‘ta (ff) = ita & , +^)-/W =/'(<};

donc la vitesse, dans un mouvement varié quelconque , a pour mesure la dérivée de Pespacc, par rapport au temps (*).

Ainsi, dans les trois mouvements considérés ci-dessus, déterminés par les relations

x — sin*,

les (**) vitesses sont , respectivement,

V=2t — 3, v = cos *.

23. Un mouvement est dit accéléré ou retardé , suivant que sa vitesse augmente ou diminue avec le temps. Dans le premier des trois exemples précédents , le mouvement est sans cesse accéléré,

(*) Cet énoncé suppose que l’espace et le temps ont été remplacés par leurs mesures respectives, c’est-à-dire par des nombres.

(**) Pour abréger, on dit: la vitesse, au lieu de : la mesure de la vitesse. (Voyet la note du n° 12.)

parce que la quantité it — 3 augmente avec t. La discussion du deuxième exemple montre que , le temps croissant de — oo à -f- <» , le mouvement est d’abord retardé, puis accéléré , puis de nouveau retardé, puis enfin accéléré. Quant à la formule v = cos t, elle montre clairement que le mouvement est périodique, ce que nous savions déjà (17, 3°).

24. Représentation graphique de la vitesse. — De la formule v—f'[t ), on conclut immédiatement que la vitesse est représentée, en grandeur et en signe , par le coefficient angulaire de la tangente à la courbe des espaces (18). La construction de cette courbe fait donc connaître, non-seulement la situation du mobile sur sa trajectoire (18), mais encore la vitesse dont il est animé actuellement, et le sens dans lequel il se meut ; de sorte que la discussion complète du mouvement d’un point dont la trajectoire est supposée connue, se réduit à un simple exercice graphique.

25. Direction de la vitesse. — Reprenons les hypothèses établies dans le n° 21 , mais admettons que le mobile auxiliaire m, au lieu de parcourir l’arc AMB, décrive la corde AB. Sa vitesse, pour chacune des positions attribuées au point B, est dirigée suivant

la sécante ABS, dont la limite est la tangente AT. Par conséquent, la direction de la vitesse d’un point matériel est, a chaque instant, la direction de la tangente à la trajectoire (*).

26. Problème. — Connaissant la vitesse (en fonction du temps), trouver F espace.

Ce problème consiste évidemment à remonter de la dérivée f (t), à la fonction primitive f(t) [d/g., 227). Nous le résoudrons dans quelques cas simples.

(‘) La considération du mouvement suivant la corde AB conduit à la mesure de la vitesse trouvée ci-dessus. En effet,.

AB

Aar(l — s)

. .. AB .. Ax

donc lira — = Irai - — = v.

n 4 MÉCANIQUE.

i°. p = -j-pp- Cette formule donne

•r = i/li-f-zM-t-const.

Pour que le mouvement soit complètement déterminé , il faut que l’on connaisse un système de valeurs de x et de /. Si, par exemple, x — o pour t — o, auquel cas V origine des espaces correspond à l’origine des temps , la constante arbitraire est nulle , et

x=If(i+/*).

2°. p = sin 2 1 — sin / ; d’où

x = — - cos 2 1 + cos t -H const.

En supposant t = o pour x = o, on trouve

x = 2cosZ8in’-/.

Le mouvement est oscillatoire : la valeur de x varie entre — 2 et

- ; les maximums et les minimums de vitesse répondent à

cos t — £ — ; etc.

3 °. p= 4 -—. On trouve (Alg.,i\[) r-t-i ' 0

x = -arctan gF - ^ + ^

en supposant encore que l’origine des espaces corresponde à l’origine des temps. Nous engageons le lecteur à faire la discussion de ces deux formules.

EXERCICES