MM' MM" MM
M'/w'~ Wm" ~~ W"m"
et
(*) Pour plus de simplicité, nous supposons les corps A, B, C,. . réduits à un seul.
(**) Quand l’observateur est arrivé en A', il voit le point dans la direction A' M'. On doit donc, pour avoir la position apparente du point, l’observateur étant supposé fixe, mener Am' égale et parallèle à A'M': c’est ce que réalise le parallélogramme AA' M'm'.
i3o MÉCANIQUE.
Ainsi , le mouvement apparent du point matériel est rectiligne et uniforme.
54. Remarques. — I. Le mouvement absolu du point matériel peut, évidemment, être regardé comme un mouvement composé (37), résultant de son mouvement apparent et d’un autre mouvement rectiligne et uniforme, commun à tous les points de la trajectoire apparente GH , et égal au mouvement de l’observateur : le mouvement apparent d'un corps n’est donc que son mouvement relatif, Pobservateur étant pris pour point de repère.
H. Menons la droite MN égale et parallèle A‘ V A, et achevons le parallélogramme MN/n 1 ’ M' v . La droite GH sera la diagonale de ce parallélogramme. Par conséquent,
Pour obtenir le mouvement apparent d'un point matériel, il suffit de composer son mouvement absolu, avec un mouvement égal et contraire à celui de l 'observateur ; ou, en termes plus simples :
Pour obtenir le mouvement apparent d’un point matériel, on imprime à ce point et à l’observateur un mouvement commun, égal et contraire h celui de l’observateur.
HL La composition des vitesses ne différant pas de la composition des mouvements , au moins quand ceux-ci sont rectilignes et uniformes, il s’ensuit que: * ,
La vitesse apparente cFun point matériel est la résultante de sa vitesse absolue et d’une vitesse égale et parallèle à celle de F observateur, mais dirigée en sens contraire.
55. Problème II. — Trouver le mouvement apparent d’un point fixe S, pour im observateur T qui décrirait une ellipse ayant ce point pour foyer (*).
Si l’observateur se croit immobile en T, le point fixe S lui semblera décrire une courbe S s 1 s",..., que l’on obtiendra en menant TV égale et parallèle à T'S, T s* égale et parallèle à T"S, et ainsi de suite. Il est facile de voir que les deux courbes sont symétriques par rapport au milieu I de ST. Par suite, la trajectoire apparente est une ellipse égale à la première. En outre , la vitesse apparente du point fixe est, à chaque instant , égale èt parallèle à la vitesse
(*) Ce problème est celui du mouvement apparent du soleil. (B., Cormographie .)
réelle de l'observateur; mais clic est dirigée en sens contraire de celle-ci.
56. Problème III. — Deux points matériels , M, m, parcourent uniformément les circonférences AMB, amb, dont le centre commun est supposé fixe. Quel est le mouvement de C un des mobiles relativement au rayon passant par F autre (*)?
Le mouvement de m, par rapport à un spectateur placé en M et
prenant le centre C pour point de repère, dépend principalement de l’angle /mMC : suivant que cet angle est dirigé à droite ou à gauche du rayon MC, m paraît se mouvoir dans le sens indiqué par la flèche, ou dans le sens opposé. De même , le mouvement angulaire apparent de M, pour un observateur qui se croirait immobile en m , est déterminé par l’angle M///C, ou par son supplément. Il s’agit donc d’examiner comment ces angles varient avec le temps.
A cet effet, soient : R, r les rayons des deux circonférences; il, « les vitesses angulaires des mobiles ; G, l’angle formé par les directions MC, M/m; ?, l’angle que fait la direction »/M avec le prolongement du rayon C/m. Supposons, pour fixer les idées, que les deux points se meuvent dans le même sens , auquel cas les vitesses il, « pourront être regardées comme positives; supposons, en
(*) Les stations et rétrogradations des planètes donnent lien à une application de ce problème. (B., Cosmographie.)
i3a MÉCANIQUE.
outre, «>*l (*). Enfin, comptons le temps t à partir d’une des époques pour lesquelles les rayons mobiles C/«, CM sont dirigés suivant une même droite C« A. Nous aurons
/«CM = 01 1 — Ht ;
ou, en représentant par c la différence w — il, laquelle est supposée positive ,
/«CM = et.
Le triangle MC/n donne ensuite
sinO— ^ — sinev, sinw = -j i — sm<v,
M/« = v/R J 4-^ — 2 R r cos et •
Pour simplifier, posons
^ = «, (i) /= -t- -\-n‘ — 2 /zcosc/; ( 2 )
d’où sin0 = ^sincf, (3) sin» = isincl. (4)
Les formules ( 1 ), ( 2 ), (3), (4 ) servent à résoudre complètement le problème. Elles donnent lieu à une discussion intéressante, dont nous signalerons seulement les points principaux.
57. Remarques. — I. L’angle 0, d’abord nul, devient positif, puis nul, puis négatif, puis nul; après quoi les mêmes circonstances se reproduisent périodiquement.
II. L’angle toujours égal à 0 et (** ), n’est jamais négatif: il n’a pas de limite supérieure.
III. La quantité /, égale à varie entre 1 — n et 1 -\-n. Elle
atteint son minimum au moment des conjonctions (A, a), et son maximum lors des oppositions (B, b) (***).
IV. La vitesse angulaire relative de m est égale à la dérivée de O,
(*) C’est ce qui a lieu pour les planètes.
(**) Cela se vérifie aisément.
(***) Ces expressions, empruntées à l’Astronomie, se rapportent à lin spectateur qui serait placé sur le soleil.
prise par rapport à t. Or, les formules (2), ( 3 ) donnent
/l= ncm>ct, e'cosO = n { ™° sct - l 'smct ,
COS0 = + — ~ ct (*),
donc 0'=^(cos ct-n). (5)
D après cette valeur, le mouvement apparent de ni sera direct ou rétrograde, suivant que la différence cos et — « sera positive ou négative : il y aura station au moment où coscf = n.
