DE L’ACCÉLÉRATION
Mouvement rectiligne.
58 . Accélération moyenne. — Afin de suivre la même marche que dans le Chapitre III , nous commencerons par résoudre la question suivante , analogue à celle qui nous a donné la délinition de la vitesse moyenne ( 20 ) :
Dans un mouvement composé de mouvements uniformément variés, les accélérations ont été
w v «’ji «■», • • • , w n
pendant les temps t v t 2 , r 3 ,..., t n ;
(*) La droite Mm étant intérieure au cercle AMB, on a nécessairement cos 6 > 0 .
(**) On arrive plus rapidement à ce résultat si l’on fait attention que ÿ' — 0' ■+- c (Remarque II).
quelle sera P accélération W (F un mouvement uniformément varié qui durerait pendant le temps
et dont les vitesses initiale et finale seraient les mêmes que dans le premier mouvement ?
Dans le premier mouvement, les accroissements de vitesse ont été
pendant les temps /„ f,,..., t n . (27)
L’accroissement total est donc
w ’i' l +“V 3 +---+«v n ; et comme il doit être égal à
W(f, + fj-K . • + *„),
on a
Cette formule , analogue à celle du n° 20, apprend que : V accélération moyenne W, dans un mouvement composé de mouvements rectilignes uniformément variés , est égale à la moyenne des accélé rations.
59. Définition et mesure de r accélération. — Des raisonnements tout à fait semblables à ceux dont on a fait usage dans les n°* 21 et 22 conduisent aux propositions suivantes:
i°. Dans un mouvement rectiligne quelconque, P accélération de la vitesse v, au bout du temps t, est la limite vers laquelle tend Ap
V accélération moyenne — » lorsque les accroissements de vitesse
et de temps convergent vers zéro ;
2°. V accélération , dans un mouvement rectiligne quelconque , a pour mesure la dérivée de la vitesse ou la seconde dérivée de l'espace, par rapport au temps;
3°. La vitesse augmente ou diminue , suivant que V accélération est positive ou négative.
60. Représentation graphique de P accélération. — L’accélération se déduisant de la vitesse comme celle-ci se déduit de l’espace,
il s’ensuit que le coefficient angulaire de la courbe des vitesses (*), représente F accélération , en grandeur et en signe.
61. Autre interprétation géométrique de F accélération. — La formule
qui donne le rayon du cercle osculateur d’une courbe quelconque (T. D., 219), se réduit, dans le cas d’une courbo plane, à
ainsi qu’on le reconnaît aisément (** ). Si cette courbe est celle des espaces , on a
par conséquent , w = cog3 ^ >
a. étant l’angle que fait la tangente MT avec l’axe des abscisses. Cette formule conduit à la construction suivante :
MC étant le rayon du cercle osculateur, menez CD perpendiculaire à F ordonnée MP, puis DE perpendiculaire à MC, puis enfin EF perpendiculaire à MP : MF représente l’inverse de l’accélération (***).
62. Problème. — Connaissant F accélération (en fonction du temps), trouver la vitesse et Fespacc.
(*) C’est-à-dire la courbe dont l’équation est v = ç>(r).
(.**) 11 suffit de supposer, dans le cas général, jr = o, *=/(<), t=.t. (***) 11 est bon d’observer que, l’accélération étant une longueur, la formule ci-dessus n’est pas homogène. Pour rétablir l’homogénéité, on multipliera le numérateur par le carré / * de la longueur qui avait été prise
pour unité, et l’on aura w = —, en sorte que P accélération est une troisième proportionnelle à MF et à l.
Chacune des deux parties de ce problème exige que l’on remonte d’une dérivée à la fonction primitive ( 25 ).
Soit, par exemple,
w= asin/ — sina/.
On aura «= — 2cos/-4--cos2f -f-c,
x — — 2sin/-4- 7 sin2f 4- cf + '<■',
c et c' étant les constantes arbitraires. Si le mobile est parti sans vitesse initiale, et qu’en outre l’origine des espaces corresponde
à l’origine des temps , c = - » c'= o ; donc
u = - — 2 cos r 4- -cos 2 r(*), x = — 2sinM-7sin2/-t-2*. 2 2 4
63 . Remarque. — D’après la théorie des quadratures [D. D., 342 ) Paire (le la courbe des accélérations représente la vitesse, et l’aire de la courbe des vitesses représente l'espace.
Mouvement curviligne.
64 . Définition de P accélération totale. — Soient M, M' les positions occupées par le point matériel , sur sa trajectoire AB, aux
époques t, 1 4- \t ; soient MC = <>, M'C' *= p-f-Ae les vitesses correspondantes, dirigées suivant les tangentes MT, M'T'. Si l’on mène MD égale et parallèle à M'C', et qu’on achève le parallélogramme MCDE, on pourra regarder la vitesse représentée par MD, comme la résultante de la vitesse e et d’une autre vitesse représentée par ME. Si la trajectoire AB devenait rectiligne , on aurait
MD = MC + ME, ou ME = A <» :
(*) On peut écrire, plus simplement,
v — 4 sin 4
pour cette raison, la composante ME est considérée comme l’ accroissement <la vitesse qui a lieu pendant le temps A t. Par suite, on appelle accélération moyenne , durant ce même intervalle de
temps, le rapport ^ > et accélération totale, à l’époque t , la li-
mite de V accélération moyenne, ou la limite vers laquelle tend le rapport entre l’accroissement de la vitesse et l’accroissement du temps, lorsque ces deux accroissements convergent vers zéro : la direction de F accélération totale est la limite vers laquelle tend la direction ME de l’accélération moyenne. Cette direction-limite est évidemment située dans le plan oscillateur, en M, à la trajectoire ( T.D. , 213).
65. Théorème I. — L’accélération de la projection est égale à la projection de V accélération.
Soit, comme dans le n° 47, m la projection du mobile M sur un axe quelconque Ox. Représentons par * l’angle de MT avec cet axe. Nous aurons, par le principe des projections , proj MD = proj ME + proj ED.
Or, proj ME = ME cos ( ME, OX ), proj ED = v cos*,
proj MD = proj M'C' = v cos * 4 - A (ecos*);
donc, en réduisant et en divisant par M :
A (ecos a) ME ,. r „ „ .
-&} — Â7 C « S (ME, Ox;.
La limite du premier membre est la dérivée de ecos*, dérivée
ME
que nous pouvons représenter par (ecosa)'. La limite de est
F accélération totale w (64). Enfin, cos (ME, Ox) a pour limite cos/, / étant l’angle de «' avec Ox. L’égalité précédente donne donc (ecos«)'= («'cos/, (i)
Cette relation fondamentale équivaut au théorème énoncé ; car, ecos* représentant la vitesse de la projection m (47), (ecos*)' en est l’accélération; et, d’un autre côté, wcosl est la projection de l’accélération totale.
66. Théorème IL — L’accélération (Fun mouvement résultant est représentée , en grandeur cl en direction, par le dernier côté d’un polygone fermé dont les autres côtés sont égaux et parallèles
aux droites qui représentent les accélérations des mouvements composants , en grandeur et en direction.
Soient, au bout du temps t, <»,, v n les vitesses des mouvements composants, »’ 3 , . , w n les accélérations correspondantes. Soient V la vitesse du mouvement résultant, et W l’accélération correspondante. Pour démontrer le théorème , il suffit de faire voir que la projection de T accélération résultante W ,sur un axe quelconque, est égale à la somme des projections des accélérations composantes ( D . D., 82).
Or, l’équation (i), appliquée aux différents mouvements composants, donne
2(pC0Sa)' = 2 wcosl.
Soit A l’angle formé avec l’axe par la vitesse résultante V : on
2(pcosa) = V cos A ;
et, par la théorie des dérivées [Alg., 185),
2(t’C0Sa)'= (VcosA)'.
Enfin, en désignant par L l’angle de W avec Ox, on a aussi
(Théorème I), * .• .
(V cosA)' = WcosL.
Donc WcosL == 2 wcosl. ( 2 ) .
Corollaire. — Les accélérations se composent et sc décomposent comme les vitesses.
Accélération tangentielle et accélération centripète.
67. Pour appliquer les principes précédents, proposons-nous do décomposer l’accélération totale «*, représentée par MG, en deux autres accélérations, l’une dirigée suivant la tangente MT à la trajectoire , l’autre dirigée suivant la normale située dans le plan oscillateur, c’est-à-dire suivant le rayon MO (lu cercle oscillateur (*). Ces deux composantes de
(*) On ne doit pas oublier que la droite MG est dans le plan osculaleur.
l’accélération totale sont ce qu’on appelle l’ accélération tangcntiellc et Y accélération centripète.
Désignons par a, p, y et par /, ni, n les angles que font les directions MT et MG avec trois axes rectangulaires. Nous aurons ( 65 )
rvCOS/= (ccosa)', u'COSM = (eCOS[3)', (t'COS« = (ccosy)'; ou W COS/ = COS a (cos a) J
«'cosw? = e' cos (3 4 - p (cos (3)', > (3) w cos /2 = p'cosy-f- e(cosy)'. ;
Mais u, v étant les angles formés avec les trois axes par le rayon MO = p, nous avons encore ( T. D., 220) :
(cos a)' (cosfO' __ (cos y)' V e . „ .
cosX ~ cosp I — cosv ~p ~ p '
On peut donc écrire, au lieu des équations ci-dessus:
WCO&1 = p'cOSa-| COS>, 1
(vcosm = e'cos(3 + -cospt, > (4)
wcosn = pcosy H — cosv.
D’après ces dernières relations , P accélération tangcntieüe T et P accélération centripète C ont pour valeurs :
En même temps, w 5 = T’-t-C 3 . (6)
Ainsi : i° V accélération tangcnticllc a pour mesure la dérivée
(<>) La vitesse p est égale à la dérivée s' de l’espace parcouru (22). (**) Si l’on fait coïncider l’axe des x, successivement, avec MT cl avec MO, on trouve, en effet ,
w cos GMT = MD = v',
w cos MGO = MC = — •
Mo MÉCANIQUE.
de la vitesse ou la seconde dérivée de l'espace, par rapport au temps ; %° l'accélération centripète a pour mesure le carré de la vitesse, divisé par le rayon du cercle osculateur; 3° l’accélération totale est représentée, en grandeur et en direction, par la diagonale du rectangle construit sur les droites qui représentent l’accélération tangcntielle et l' accélération centripète , en grandeur et en direction.
68. Remarques. — I. Si le mouvement curviligne est uniforme, il n’y a plus d’accélération tangcntielle, et l’accélération totale , qui se réduit à l’accélération centripète, est proportionnelle à l’inverse du rayon de courbure.
II. Si le mouvement uniforme est circulaire, l’accélération centripète est constante.
