APPLICATIONS

69. Problème I. — Un point matériel décrit une hélice tracée sur un cylindre vertical. La projection du point, sur taxe de l’hélice, se meut conformément h la loi de la chute des corps pesants. Quel est le mouvement du point ?

i°. En faisant passer l’axe des x par la position initiale du mobile, et en comptant les ordonnées dans le sens de la pesanteur, nous pourrons prendre, pour équations de l’hélice,

•z = R cos ^7 Q) (*)

En même temps , si le point est parti sans vitesse initiale ,

2°. Ces équations donnent, pour les composantes de la vitesse , et

(*) Nous supposons toujours, pour plus de simplicité, que la tangcute à l’hélice fait, avec l’axe, un angle de 45°.

de l’accélération totale,

x'=-^sin^, r'= — gt cos^i z'=,gt. (3)

x-=-S-( S mg + î<’ c osi),

« , ( cos fi-R , ’ si "R)’

Par suite,

<> = gt \/â, w - g y /2 4- gj *'• (5)

La vitesse v étant proportionnelle an temps, le mouvement est uniformément accéléré.

3°. L’accélération tangentielle a pour valeur (67)

Donc l’accélération centripète sera

Si l’on égale cette dernière expression a — ? on trouve

Ainsi , dans l’hélice considérée , le rayon de courbure est égal au diamètre du cylindre. C’est ce que l’on savait (page 102 ).

4°. La direction de l’accélération totale est déterminée par les formules

COS /=— ) COS »l = — j cos«=-w w < v

5°. A l’origine du mouvement, les valeurs de ces cosinus sont

°’ fi' T*

donc V accélération totale est (Vabord dirigée suivant la tangente a la trajectoire : V accélération' centripète est nulle (*).

(*) Les formules ( 6 ), ( 7 ) donnent le même résultat.

6°. A mesure que t augmente, cos n diminue; donc V accélération totale tend à devenir perpendiculaire à l’axe de l’hélice.

70. Problème II. — Un cercle O roule , avec une vitesse constante, sur une droite Ax. Quelles sont les circonstances du mouvement d’un point M intérieur à ce cercle ?

i". Un calcul semblable à celui que l’on fait pour trouver l’équation de la cycloïde ( D . D., 69) donne

æ=Rw — rfsinw, y = R — rfcosw, (i)

a; = Rarccos — ^Jd 1 — (R — /)’. (a)

Cette dernière équation représente la cycloïde accourcie décrite par le point M.

2 °. Si a est la vitesse de roulement , et que le temps t soit compté à partir de l’époque où l’extrémité M' du rayon OM coïncidait avec l’origine A,

Rw = fl£. (3)

Donc x — at — d sin^j. r = R — dcos^- (4)

sont les équations qui déterminent les mouvements des points P et Q, projections de M. Elles montrent que le mouvement proposé résulte du mouvement rectiligne et uniforme du centre O, combiné avec un mouvement circulaire et uniforme (38).

On tire, de ces mômes équations,

, ad .. al

COS yy 1

y = :r sin r ’

à 1 d at

sin

^=-F cos r*

1 3 f . à* <1 at\ a 1 il

puis e’ = « J + - -a-cos tv ~~W‘ (?)

Ainsi , V accélération totale est constante.

4°. Les formules (5) peuvent être remplacées par

• r -s 7 = rt PM > r'=(Ac-AP)==gPc.

Conséquemment

y PC ~ PM 5

ou, en désignant par « l’angle que fait, avec Ax, la tangente MT à la trajectoire,

tang a = —j = tang PMC.

D’après cette dernière relation : i° la droite MC qui joint le point décrivant M au point de contact C est normale à la cj cloïde ; a° la tangente MT passe par V extrémité T du diamètre mené au point d’intersection de la normale avec la circonférence OMG.

5°. La transformation précédente, appliquée à la vitesse <>, donno

<’ = gMC. (8)

Ainsi , la vitesse est proportionnelle à la normale.

6°. La valeur de v 1 donne

, a 3 d at ci 1

w - R , sm R - RI PC,

puis

T = p' = |jr sin a = g; • ON. (9)

L’accélération tcngcntielle est donc proportionnelle à la distance comprise entre le centre du cercle et la normale : elle atteint son maximum quand le mobile coïncide avec le point d’inflexion I de l’épicycloïde (*).

(*) La règle ordinaire (O. D., 149) prouve que, pour ce point ,