Problème III. — Une circonférence CMD roule sur une
circonférence égale ABA', supposée fixe, en rencontrant constamment P axe OZ de celle-ci. Quel est le mouvement d'un point de la première circonférence ?
Faisons passer l’axe des x par la position initiale A du pointai. Menons OC, CD, MC et MD. Abaissons ME, EG , EF, respectivement perpendiculaires à CD, OZ,
(*) Dans le cas de la cycloïde simple , d = R , MN = - MC ; donc
p = a MC.
OC. Menons encore l’ordonnée MP, puis la droite FP, évidemment parallèle et égale à EM. En prenant pour unité la vitesse de roulement, nous aurons, comme on le voit aisément,
ME = R sin r, DE = R (1 + cos/),
CE = (i — cosf), OF = GE = ^R(t-|-cos/); puis
x = OF cosf 4 - FP sin t = ~ R (1 4- cos t ) ( 2 — cos t) , j j = OFsinr —FPcosr = ^R(i — cosr) sinf, > (1)
z = CEsin^ = -R ^ 3(1 — cosr). ^
72 . Ces valeurs, qui pourraient servir à construire par points la trajectoire (*), donnent
[ +2Cosr) sinr, 1
• cosr)(i + 2cosr), /
Irv^.
sinf;
iR(-<
1 — cos t -J- 4 cos 2 t ) ,
1 4 cos/)sinr, ^
^tt
cos t ;
lR’(t-
- cosf ) (5 + 3 cosf),
iR’( 5 -
- 4 cos/ + 3 cos’r);
(*) Cette trajectoire est une épicycloïde sphérique. Sa projection, sur le plan des xy, est un limaçon de Pascal , que l’on peut représenter par
u = — R (1 — coscü).
T R (t + 3cosf) cos^ f v/â y/ 5 —J— 3 cosl
\J 5 + 3 cos t
COS^ COS fi
cos v
î — acosf — acos’ t ~ — 2 Sinf(i -H cos*) ^3
2 \/ï + cos f.
. 1 (5 + 3 cos t ) sm - / v ■ ■ - - 2/6 2 y^ + cosf
73. Plusieurs circonstances intéressantes ressortent des dernières équations :
i°. La vitesse c, nulle pour t — o, augmente jusqu’à ce que l’on ait cos t = — | j après quoi elle diminue. Le minimum répond à
cos — t — o , ou t = 7r. A ce moment , le point matériel est en D,
à la rencontre de la circonférence mobile et de l’axe directeur. De t = iz à t — 2 tt, la vitesse repasse par les valeurs qu’elle avait acquises antérieurement.
2 0 . L’accélération tv, d’abord égale à R, diminue jusqu’à ce que
cos f = | : le minimum est R Elle augmente ensuite, de
manière à atteindre son maximum R v/3, lorsque t — n, etc.
3". Pour / = o, les relations (8) se réduisent à
cos >. cos fi cos 1
— 3 ~ ~cT ~ y/3 a y/3 ’
l’accélération centripète C, égale à zéro, est dirigée suivant AD. Au point D, qui répond k t — n, cette accélération atteint son maximum R \jz ; elle est alors dirigée suivant la perpendiculaire à DA, etc. (*).
(*) Nous engageons te lecteur h compléter cette discussion, pour laquelle nous devons nous borner à de simples indications.
74. Problème IV. — Un point matériel M parcourt une ellipse ABA' B', de manière que le rayon vecteur mené au foyer F décrit des aires proportionnelles aux temps. Quelles sont les circonstances du mouvement (*).
Nous adopterons les dénominations et les notations suivantes :
rayon vecteur = FM = r, demi grand axe — OA = c,
... „ . ... fa ’ — b 1
demi petit axe = OB = 0, excentricité = - — , = e ,
anomalie vraie — angle AMF = w , durée de la révolution — T,î
vitesse moyenne angidaire = aire AMF = A.
L’énoncé donne ( D . D., 350) :
r= aji — e 1 ) .
1 e cos w ’ A t 7r ab T*
ou
A = ~ na,t y / 1 — (a)
75. Pour simplifier la valeur de A , on représente par ^ c l’aire décrite dans l’unité de temps, c’est-à-dire que l’on pose c — na 3 fi — c’ ; ( 3 )
(*) Les données de ce problème constituent les deux premières lois de Kepler. Le problème lui-mèmc est celui que Newton s’est proposé, et d’où il a conclu l’admirable principe de la gravitation universelle. (O., Cosmographie. )
d’où A = i<v. (4)
76. L’aire A, considérée comme une fonction du temps, a pour dérivée -r 3 «' (*).
Donc, à cause de la formule (4) :
77. Rapportons l’ellipse à des axes rectangulaires, passant par le foyer; nous aurons
x — r cosw, j=rsinw.
Ces valeurs donnent, en vertu de la formi% (5),
Il c •
x = r cosw sino),
y' = r'sinw-l- £cosw;
x"- [r"- 1 -^ cosw,
p)sino>.
Par suite, c’=r' J - t-p> (8)
78. Il reste à remplacer r' et r” par leurs valeurs, exprimées en fonction de r (**); mais, dès à présent, la comparaison des formules (9) et (7) montre que r accélération w est dirigée suivant le rayon vecteur.
(*) En raisonnant comme dans le Chapitre XXI de la Gcomctric analytique -à deux dimensions, on trouve
A/ A( 2^ ; At
AA aT ’
etc.
(**) D’après la marche indiquée au commencement de ce chapitre et dans les problèmes précédents , on pourrait sc proposer d’évaluer vetw en fonction du temps, ou du moins en fonction de l’anomalie vraie; mais, ainsi que le lecteur peut s’en convaincre , le premier problème est à peu près insoluble, et le second conduit à des valeurs compliquées, qui déguisent complètement la grande découverte de Newton.
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