PLUS PETIT MULTIPLE COMMUN

On appelle plus petit multiple commun de plusieurs nombres, le plus petit nombre divisible séparément par chacun d'eux.

Plusieurs nombres donnés ont une infinité de multiples communs, mais ils n'ont qu'un plus petit multiple commun.

70. Trouver le plus petit multiple commun de deux nombres. — Nous allons montrer que le plus petit multiple commun de dev>x nombres s'obtient en divisant le produit de ces deux nombres par leur plus grand commun diviseur.

Observons d'abord que si A et B sont deux nombres ayant pour plus grand commun diviseur D, et si l'on appelle A' et B' les quotients respectifs de ces deux nombres par leur plus grand commun diviseur, on a

A=A'xD, B = B'xD,

et

AxB:D=:AxB' (41).

Rappelons d'ailleurs que A' et B' sont premiers entre eux (65).

Cela posé, soit M un multiple commun de A et de B. Divisons-le par A et par B, et appelons Ai et Bi les quotients respectifs, de sorte que l'on a M = AxAi = BxBi. Mais A et B étant divisibles par D, de l'égalité

Axa, = BxB, on déduit, en observant que A = A' x D, B = B' x D et en divisant par D,

A'xA, = B'xB,.

Cette nouvelle égalité signifie que le produit A' x Ai est divisible par B' ; or, B' étant premier avec A' divise alors Al (66). Faisons cette division, et soit Q le quotient obtenu ; on a

Al = B'xQ, et, par suite, l'égalité M = AxA, peut s'écrire M = A X B' X Q.

Elle montre alors que tout multiple commun, M, aux deux nombres A et B est divisible par le produit A x B', c'est-àdire est un multiple de ce produit. Il en est forcément de même du plus petit multiple commun. Or, le plus petit multiple de A X B' est ce produit lui-même ; donc, le plus petit multiple commun des deux nombres est égal au produit AxB'. Mais nous avons vu que le produit AxB' est

égal au quotient A x B : D, et la règle énoncée plus haut se ainsi trouve justifiée.

D'ailleurs le raisonnement qui nous a conduit à la justification de la règle entraîne les conséquences suivantes :

71. Corollaires. — 1" Le plus petit multiple commun de deux nombres est égal au produit de l'un d'eux par le quotient obtenu en divisant Vautre par leur plus grand commun diviseur.

2° Tout multiple commun à deux nombres K et B étant un multiple du produit A x B', est un multiple de leur plus petit multiple commun.

72. Plus petit multiple commun de plusieurs nombres. — Voici la règle à suivre ;

On cherche le plus petit multiple commun des deux premiersy puis le plus petit multiple commun du résultat obtenu et du troisième, puis le plus petit multiple commun du nouveau résultat et du quatrième, et ainsi de suite jusqu'à ce que tous les nombres aient été employés : le dernier résultat obtenu est le plus petit multiple commun cherché.

Pour établir cette règle, on prouve que tout multiple commun à tous les nombres donnés est un multiple du dernier résultat obtenu d'après la règle, et réciproquement.

Le raisonnement permet alors de conclure que tout multiple commun à plusieurs nombres est un multiple de leur plus petit multiple commun.

Notions sur les nombres premiers.

73. Définition. — On appelle nombre premier tout nombre qui n'est divisiWe que par lui-même ou par l'unité. Les nombres 3, 5, 7, U sont des nombres premiers.

74. Théorème. — Tout nombre qui n'est pas premier admet au moins un diviseur premier.

Soit A un nombre non premier. Par hypothèse, il admet des diviseurs autres que lui-même ou que l'unité : soit d le plus petit de ces diviseurs. Je dis que d est un nombre premier.

En effet, si d n'était pas premier, il admettrait un diviseur autre que lui-même ou que l'unité. Ce diviseur, évidemment plus petit que d, diviserait A qui est un multiple de d ; de