Théorème. — La suite des nombres premiers est illimitée

Soient 1, 2, 3, 5, . . ., n tous les nombres premiers, ou du moins les seuls nombres que Ton suppose être premiers. La proposition sera démontrée si Ton prouve que Ton peut trouver un nombre premier autre que l'un de ceux-là. A cet effet, ajoutons Tunité au produit

lX2x3x5x...Xn, et soit A la somme ainsi obtenue, de sorte que, par définition, on a

A = 1X2X3X3. ..XUH-l.

Le nombre A est évidemment différent des nombres 1 , 2, 3, . . . , n. S'il est premier, le théorème est démontré. S'il n'est pas premier, il admet un diviseur premier (74), et il est facile de voir que ce diviseur premier, autre que l'unité, n'est pas Tun des nombres 1,2,3,5, . . . , n. Car s'il était l'un de ces nombres, il diviserait le produit 1x2x3x5. ..xn, puisqu'il est l'un des facteurs de ce produit (41). Or il divise A par hypothèse, donc il diviserait 1, qui est la différence entre A et le produit 1x2x3x5. ..xn. Ce résultat étant impossible, il faut bien admettre que le diviseur premier considéré n'est pas l'un des nombres 1, 2, 3, ..., n, et par suite qu'il existe des nombres premiers autres que ceux-là.