Caractère de divisibilité par 9 ou par S. — Le
reste de la division d'un nombre par 9 ou par 3 est le même que celui de la division par 9 ou par 3 de la somme des valeurs absolues de ses chiffres.
La démonstration comprend plusieurs parties : 1*» Le nombre formé par l'unité suivie d'un ou de plusieurs zéros est un multiple de 9 plus 1 .
Par exemple, 100 = 99 -f- 1 = mult. (*) de 9 -h 1 ;
1000 = 999 -h 1 = mult. de 9 -h 1, etc.
2° Tout nombre formé d'un chiffre significatif suivi d'un ou de plusieurs zéros est un multiple de 9 plus ce chiffre. En effet, on a par exemple
5000 = 5 X 1000 = 5 X (mult. de 9 -4- 1) ; c'est-à-dire (27)
5000 = 5 X mult. de 9 -h 5 = mult. de 9 -f- 5. 30 Un nombre quelconque est un multiple de 9 plus la somme des valeurs absolues des chiffres qui le composent. Soit, par exemple, 5327. On a :
5000 = mult. de 9 -h 5, 300 = mult. de 9 -h 3, 20 = mult. de 9 -f- 2, 7 = 7.
Par suite, en faisant la somme et en observant qu'une somnne de multiples de 9 est un multiple de 9, il vient 5327 = mult. de 9 -h (5 -h 3 -h 2 + 7),
{*) Mult. est mis comme abréviation de multiple.
la parenthèse servant à indiquer que Ton suppose que la somme 5-h3-f-2-}-7aété effectuée.
De cette égalité et du n« 47 résulte alors la proposition à démontrer pour 9 ; et comme 9 est un multiple de 3, la démonstration convient h 3.
53. Corollaire. — Pour qu'un nombi^e soit divisible par 9 ou par 3, il faut et il suffit que la somme des valeurs absolues des chiffres qui le composent soit divisible par 9 ou par 3.
Plus grand commun diviseur
de deux ou de plusieurs nombres.
54. Définitions. — On appelle diviseur commun à deux ou à plusieurs nombres, tout nombre autre que 1 et qui les divise tous exactement. Le plus grand des diviseurs communs s'appelle le plus grand commun diviseur de ces nombres. Quand le plus grand commun diviseur est égala 1, les nombres sont dits premiers entre eux.
La recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres repose sur le théorème suivant :
55. Ttiéorème. — Les diviseurs communs à deux nombres sont les mêmes que les diviseurs communs au plus petit et au reste de la division du plus grand par le plus petit.
En d'autres termes, si Ton imagine formés : d'une part, le tableau des diviseurs communs aux deux nombres, d'autre part, le tableau des diviseurs communs au plus petit et au reste de la division du plus grand par le plus petit, ces deux tableaux sont identiques.
Pour le prouver, considérons par exemple les deux nombres 768 et 108. Le quotient de la division de 768 par 108 est 7 et le reste est 12, de sorte qu'on a
Cela posé, tout diviseur commun à 768 et à 108 divisant le reste de leur division (46), divise 12 et est, par suite, un diviseur commun à 108 et h 12; ce qui montre que tout nombre du premier tableau se trouve dans le second.
Réciproquement, tout diviseur commun à 108 et à 12 divise 108 X 7, qui est un multiple de 108 ; il divise donc la somme 108 X 7 -f- 12, c'est-à-dire 768 ; par suite, il est diviseur commun à 768 et à 108, ce qui montre que tout nombre du se-
cond tableau se trouve dans le premier et, par conséquent, en réunissant les deux parties du raisonnement, que les deux tableaux sont identiques.
56. Corollaire. — Le plus grand commun diviseur de deux nombres est le même que le plus grand commun diviseur du plus petit et du reste de la division du plus grand par le plus petit.
57. Trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres. — Soit à trouver le plus grand commun diviseur de 768 et de 324. Le plus grand commun diviseur étant le même que celui de 324 et du reste de la division de 168 par 324, nous sommes conduits à diviser 768 par 324. Si la division se fait exactement, comme 324 est lui-même son plus grand diviseur, il est le plus grand commun diviseur demandé. SU y a un reste, le plus grand commun diviseur est le même que celui de 324 et du reste de la division de 324 par le premier reste obtenu (56). On est donc conduit à diviser 324 par le premier reste.
Si la division se fait exactement, c'est le premier reste qui est le plus grand commun diviseur cherché ; sinon, on est conduit à chercher le plus grand commun diviseur du premier reste et du second, par suite à diviser le premier reste par le second, et ainsi de suite jusqu'à ce que Ton arrive à un reste 0; ce qui arrivera certainement au bout d'un nombre limité d'opérations, puisque les restes diminuent quand on passe d'une opération à la suivante.
On conclut de là la règle suivante :
Règle. — Pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres, on divise le plus grand par le plus petit, celuici par le premier reste, le premier reste par le second reste, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait obtenu un reste nul. Le dernier diviseur employé est le plus grand commun diviseur cherché.
On dispose l'opération comme il suit :
Les quotients sont inscrits au-dessus des diviseurs correspoa-
dants, et les restes au-dessous des dividendes correspondants.
Le plus grand commun diviseur obtenu entre 768 et 324 est 12.
58. Théorème. — Tout nombre qui en divise deux autres divise leur plus grand commun diviseur.
Tout nombre qui en divise deux autres divise en effet le reste de leur division (46). Si l'on se reporte alors à la suite des opérations qui donnent le plus grand commun diviseur, on voit que tout nombre qui en divise deux autres divise le plus petit et le premier reste ; il divise par suite le premier reste et le second reste ; il divise par suite le second reste et le troisième, et ainsi de suite jusqu'au plus grand commun diviseur qui est le dernier reste de la suite.
59. Corollaire. — Les diviseurs communs à deux nombres sont les diviseurs du plus grand commun diviseur.
En d'autres termes, si l'on forme : d'une part, le tableau des diviseurs communs à deux nombres ; d'autre part, le tableau des diviseurs de leur plus grand commun diviseur, ces deux tableaux sont identiques.
. En effet, tout nombre du premier tableau se trouve dans le second, en vertu du théorème précédent.
Réciproquement, tout nombre du second tableau se trouve dans le premier, car tout nombre qui divise le plus grand commun diviseur divise les deux nombres proposés, qui sont des multiples de leur plus grand commun diviseur : il est donc un diviseur commun aux deux nombres, et par suite fait partie du premier tableau. Il suit bien de là que les deux tableaux sont identiques.
60. Plus grand commun diviseur de plusieurs nombres. — Considérons par exemple trois nombres, A, B, C. Soit D le plus grand commun diviseur de A et de B ; soit de même D' le plus grand commun diviseur de D et de C. Nous allons montrer que D' est le plus grand commun diviseur cherché.
En effet, tout diviseur commun aux trois nombres divise D (59); par suite, il divise aussi D', qui est le plus grand commun diviseur de D et de C.
Réciproquement, tout diviseur de D' divise ses multiples D et G; il divise par suite les multiples A et B de D.
11 suit de là que les diviseurs communs aux trois nombres
A, B, C sont les mêmes que les diviseurs de D' ; et il est clair alors que le plus grand commun diviseur de A, B, C n'est autre que le plus grand diviseur de D', c'est-à-dire que D' est le plus grand commun diviseur cherché. D'après cela, voici la règle à suivre :
Règle. — Pour trouver le plus grand commun diviseur de plîisieurs nombres, on cherche le plus grand commun diviseur du premier et du second, puis le plus grand commun diviseur du résultat obtenu et du troisième, et ainsi de suite jusqu'à ce que le dernier nombre ait été employé. Le dernier résultat obtenu est le plus grand commun diviseur cherché.
61. Corollaire. — Les diviseurs communs à plusieurs nombres sont les mêmes que les diviseurs de leur plus grand commun diviseur.
Cette proposition est une conséquence immédiate du raisonnement qui a conduit à la règle précédente. On peut encore l'énoncer ainsi :
Tout nombre qui en divise plusieurs autres divise leur plus grand commun diviseur ; réciproquement 1 tout diviseur du plus grand commun diviseur de plusieurs nombres divise ces nombres.
Théorèmes sur le plus grand commun diviseur.
62. Théorème. — Quand on multiplie deux nombres par un troisième, leur plus grand commun diviseur est multiplié par ce troisième.
Si l'on considère, par exemple, les deux nombres 768 et 324, et qu'on les multiplie par 7, le théorème énoncé signifie que si 12 est le plus grand commun diviseur de 7£8 et de 364, 12x7 est le plus grand commun diviseur de 768x7 et de 324 X 7.
Pour le démontrer, observons que si Ton divise 768 par 324, on a 2 pour quotient et 120 pour reste ; de sorte que l'on peut écrire l'égalité
Multiplions les deux membres de cette égalité par 7 : le premiermembre devient 768x7, et le second (27)
324 X2x7-f- 120x7 ou 324 X7 X2 -+- 120x 7.
On peut donc écrire la nouvelle égalité
Or, 120 étant plus petit que 324, puisque c'est le reste d'une division dont 324 est le diviseur, on voit que 120 x 7 est inférieur à. 324x7. L'égalité précédente signifie alors que si Ton divise le produit 768 x 7 par le produit 324 x 7, le quotient est 2, et le reste est 120 x 7 ; ce que Ton énonce d'une manière générale ainsi qu'il suit :
Quand on multiplie le dividende et le diviseur d'une division par le même nombre, le quotient ne change pas, et le reste est multiplié par ce nombre.
Mais alors, si l'on se reporte aux opérations du plus grand commun diviseur, on voit que le diviseur et le premier reste ayant été multipliés par 7, le second reste sera aussi multiplié par 7 ; il en sera de même du troisième reste, et ainsi de suite jusqu'au dernier, c'est-à-dire jusqu'au plus grand commun diviseur.
63. Théorème. — Quand on divise deux nombres par un troisième et que ces divisions se font sans reste, leur plus granà commun diviseur est divisé par ce troisième.
On démontre d*abord que si Von divise deux nombres par un troisième, le quotient ne change pas, et le reste est divisé par ce troisième.
Puis on achève le raisonnement comme dans le numéro précédent.
64. Corollaire I. — Quand on multiplie ou que Von divise plusieurs nombres par un autre, le plus grand commun diviseur est multiplié ou divisé par cet autre.
Pour démontrer cette proposition, il n'y a qu'à se reporter à la règle pratique pour trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres, et aux deux théorèmes précédents.
66. Corollaire II. -^ Quand on divise deux ou plusieurs nombres par leur plus grand commun diviseur, les quotients obtenus sont premiers entre eux.
En effet, le plus grand commun diviseur est alors divisé par lui-même, c'est-à-dire est devenu l'unité.
66. Théorème. — Tout nombre qui divise un produit de deux facteurs et qui est premier avec Vun des facteurs divise Vautre. .
Soit, par exemple, 60 = 3 x 12. Je dis que si 3 divise 60 et est premier avec 3, il divise 12. En effet, 3 et 3 étant pre-
MANUEL DB Rh£t. 3
miers, leur plus grand commun diviseur est 1 ; donc le plus grand commun diviseur de 3x42 et de 5x12 est 1x12 = 12. Mais 3 divise son multiple 3 x 12 ; il divise 5X12, par hypothèse ; donc il divise le plus grand commun diviseur 12 de 3 X 12 et de 5 X 12, ce qui démontre la proposition.
67. Théorème. — Quand un nombre est divisible par plusieurs autres premiers entre eux deux à deux, il est divisible par leur produit.
Considérons, par exemple, le nombre 420, qui est évidemment divisible par 3, par 4 et par 5 qui sont premiers entre eux deux à deux. Nous allons prouver qu'il est divisible par le produit 3X4x5.
Divisons en effet 420 par 3 ; le quotient étant 140, on a 420 = 3X140.
Mais, par hypothèse, 4 divise le produit 3 x 140, et comme il est premier avec 3, il divise 140 (66). Le quotient étant 35, on a
140 =4X35, et, par suite, 420 = 3 x 4 x 35.
Enfin, 5 divisant 420, divise le produit 3 X 140 : or il est premier avec 3, donc il divise 140, c'est-à-dire 4x35. Mais il est. premier avec A, donc il divise 35. Le quotient étant 7, on a 35 = 5 X 7, et, par suite,
420= 3X4X5X7, ce qui montre que 420 est divisible par le produit 3x4x5, puisqu'il est égal à ce produit multiplié par 7.
68. Application. — Ce tliéorènie permet de trouver de nouveaux caractères de divisibilité au moyen de ceux qu'on a trouvés plus haut (49, 51, 53). C'est ainsi, par exemple, que pour reconnaître si un nombre est divisible par 12, il suffit de reconnaître s'il est divisible par 3 et par 4, parce que 3 et 4 sont premiers entre eux.
De même un nombre est divisible par 20 s'il est divisible par 4 et par 5, etc.
Plus petit multiple commun
de deux ou de plusieurs nombres.
69. Définitions. — On appelle multiple commun à plusieurs ffcmbres tout nombre divisible séparément par chacun d'eux.
