BC B'C

BC CD On prouverait d'une manière analogue que -77;; = r^^rr-

D Lt ta D

136. Tliéor^^nne. (Propriété des bissectrices d'un triangle). — Les bissectrices d*un angle d'un triangle partagent le côté opposé à cet angle en segments proportionnels aux côtés adjacents.

Soit le triangle ABC. Si l'on mène la bissectrice AD de

l'angle intérieur BAC, il s'agit de prouver que l'on a

AB BD le"" Ûi;* Pour cela, on mène par le point C la parallèle CE à AD, et Ton a (132) AB BD ÂÊ^DC' Mais les angles 1 et 4 sont égaux comme correspondants ; 2 et 3 sont égaux comme alternes-internes ; et comme les angles l et 2 sont égaux par construction, les angles 3 et 4 sont aussi égaux. Il suit de là que le triangle AEC est isocèle et que AË = AC. Si donc on remplace AEpar son égal AC, on obtient Tégalité à démontrer,

AB BD AC ""DC* Si, au lieu de considérer la bissectrice intérieure, on avait

considéré la bissecky/^^ trice extérieure AD,

on aurait eu encore

AC DC La démonstration est absolument la même dans les deux cas. La seule diflférence consiste en ce que dans le premier cas, le point D est entre B et C, tandis qu'il est sur le prolongement de BC dans le second.