DC AC

Similitude.

138. Définilioiis. — On dit que deux polygones sont semblables lorsqu'ils ont les angles égaux, chacun k chacun, et les côtés homologues proportionnels. On appelle côtés homologues ceux qui sont adjacents aux angles égaux.

Il n'est pas évident a priori qu'il existe des polygones

semblables. Le théorème suivant prouve qu'il existe des triangles semblables.

130. Théorème. — Toute parallèle à Cun des côtés d'an triangle détermine un nouveau triangle semblable au premier.

Soit un triangle ABC dans lequel on a mené la parallèle DE au côté BC ; il s'agit de prouver que les deux triangles ABC, ADE sont semblables.

!• Us ont évidemment leurs angles égaux, chacun à chacun ; car l'angle A est commun ; B et D sont égaux comme correspondants,, et enfin E et C sont égaux pour la même raison.

2» Il reste à prouver que les côtés homologues sont proportionnels. Or on a d'abord (133) AD AE AB "■ ÂC* D'autre part, si Ton mène EF parallèle à AB, on a aussi (133) AE BF AC "" BC' AE DE ÏC=BC' puisque BF = DE comme côtés opposés d'un parallélogramme.

La comparaison de cette suite d'égalités donne immédiatement

AD AE DE ,. ^ r^ r.

ÏB = XC=BC- ^Û-^-^-

Ajoutons que la démonstration reste la même quelle que soit la position de DE par rapport au sommet A et au côté BC.