Cas de similitude de deux triangles. — La

similitude de deux triangles entraine 5 égalités entre les éléments de ces triangles : 2 pour la proportionnalité des côtés et 3 pour Tégalité des angles. Nous allons prouver que deux de ces égalités convenablement choisies entraînent les trois autres. Nous obtiendrons ainsi des propositions qu'on appelle les cas de similitude de deux triangles et qui cor-

respondent aux cas d'égalité démontrés dans le premier livre.

141. Théorème (Premier cas de similitude). — Deux triangles qui ont deux angles égaux^ chacun à chacun, sont semblables.

Soient ABC, A'B'C deux triangles tels que Ton ait A = A', B = B' ;

il suffit de prouver, pour démontrer leur similitude, qu'il existe un triangle égal à A'B'C et semblable à ABC. Pour cela, prenons AD = A'B' et menons DE parallèle à

BC. Nous obtenons ainsi un triangle ADE semblable au triangle ABC (139) ; de sorte qu'il suffit de prouver qu'il est égal à A'B'C. Or, ceci résulte de ce que AD = A'B' et de ce que les angles adjacents à ces côtés sont égau\ chacun h chacun, en vertu des hypothèses ; car A = A' et D = B = B'.

Comme on le voit, ce premier cas de similitude correspond au premier cas d'égalité.

142. Théorème (Deuxième cas de similitude). — Deux triangles qui ont un angle égal compris entre côtés proportionnels sont semblables.

Soient ABC, A'B'C (même figure) deux triangles tels que Ton ait

^ A'C ^"~ ' AB~'ÂC*

Pour prouver qu'ils sont semblables, il suffit, comme plus haut, de prouver qu'il existe un triangle égal à A'B'C et semblable à ABC. Pour cela, prenons AD = A'B' et AE = A'C, de sorte qu'en vertu de l'une des hypothèses on a