AB ~ AC

et, par suite, DE est parallèle à BC (134). Mais alors le triangle ADE est semblable au triangle ABC (139) et, comme il est évidemment égal à ABC (^« cas d'égalité), ABC et A'B'C sont semblables.

n est clair que le 2« cas de similitude correspond, d'après cela, au 2® cas d'égalité.

143. Théorème (Troisième cas de similitude). ■— Deux triangles qui ont leurs côtés proportionnels sont semblables.

Soient ABC, A'B'C (même figure) deux triangles tels que l'on ait

A'B' BV AC;

AB ~ BC ~ AC * Prenons AD = AB' et menons DE parallèle à BC. Nous obtenons ainsi un triangle ADE semblable au triangle ABC, et il suffit de prouver que ce triangle ADE est égal au triangle A'B'C. Pour cela^ observons que la similitude de ADE et de ABC donne