BC "~ BC ® AC "■ AC

Les dénominateurs de la première égalité étant égaux, il faut que les numérateurs le soient aussi ; donc DE = B'C et de môme AE = A'C. Les deux triangles ADE et A'B'C sont donc égaux (3« cas d'égalité) et le théorème est démontré.

144. Théorème. — Deux triangles qui ont leurs côtés parallèles ou perpendiculaires sont semblables.

Appelons, en efifet, ABC et A'B'C ces deux triangles. On sait que les angles qui se correspondent sont égaux ou supplémentaires (25 et 26). Nous allons montrer qu'ils sont égaux. En effet, si deux couples d'angles qui se correspondent étaient supplémentaires, on aurait, par exemple, A+A' = 2^ B + B' = 2''', et la somme des six angles serait supérieure à 4'*", ce qui est irnpossible (68). Donc on a nécessairement A = A', B = B' »t par suite G = C (69, 2«). Mais alors les deux triangles or\t semblables (1" cas).