Corollaire. — La perpendiculaire menée d'un point
d'une circonférence sur un diamètre est moyenne proportionnelle entre les segments qu'elle détermine sur le diamètre.
Car si MP est cette perpendiculaire et si Ton joint le point M aux extrémités A et B du diamètre, on obtient un triangle rectangle AMB dans lequel MP est la perpendiculaire menée du sommet de l'angle droit sur l'hypoténuse.
162. Théorème. — Dans tout triangle rectangle chaque côté de V angle droit est moyenne proportionnelle entité l*hypoténuse entière et sa projection sur l'hypoténuse.
Prouvons par exemple que, dans le triangle rectangle ABC, on a
ÂB* = BCxBD.
Pour cela, remarquons que les deux triangles ABC et ABD sont rectangles, et que, de plus, les angles BAD et C sont égaux comme ayant leurs côtés perpendiculaires. L'angle B étant commun, ces deux triangles sont semblables. En écrivant que les côtés homologues sont proportionnels, on obtient
B C (hypoténuse du !«'') __ AB (côté du !«'')
AB (hypoténuse du second) "~ BD (côté homologue du second) 11 en résulte bien
ÂB* = BC X BD.
153. Corollaire. — Toute corde d'un cercle est moyenne proportionnelle entre le diamètre et sa projection sur le diamètre qui passe par son extrémité.
Cela résulte immédiatement de la considération du triangle rectangle AMB (figure du n^ 151).
• 154. Théorème de Pythagore. — Le carré de Vhypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Soit, en effet, un triangle rectangle ABC (figure précédente). On a vu que l'on a
ÏB* = BC X BD
et 4C* = BC X CD.
En ajoutant membre à membre et en mettant BC en facteur dans le second membre, on obtient
ÂB* H- ÂC* = BC(BD -4- CD).
Mais BD 4- CD = BC ; donc on a bien
ÂB* + îc' = Bc'.
155. Remarque. — Les théorèmes précédents permettent de calculer les éléments d'un triangle rectangle (côtés, hau-
teur, serments déterminés sur l'hypoténuse) quand on connaît deux de ces éléments. '
Comme application, proposons-nous de calculer la hauteur d'un triangle équilatéral ÂBC, de côté a. Si AD est cette hauteur, le triangle rectangle ABD donne (154)
AB = AD -f
a ou, en remplaçant AB par a et BD par —i
On en déduit
et
a« = AD H
—1 , a» 3a« AD =«.-- = ,
AD
as/a"
BD
Propriétés, en ce qui concerne le cercle, des sécantes issues d'un même point.
156. Théorème. — Si d'un point P en mène des sécantes à un cercle 0, le produit des distances de ce point aux deux points où chaque sécante coupe le cercle est le mêm^ pour toutes les sécantes.
1» Supposons d'abord que le point P soit intérieur au cercle 0, et menons deux sécantes quelconques PAB, 1»CD ; il s'agit de prouver que Ton a
PAXPB = PCxPD.
Pour cela, observons que les deux triangles l'BC, PAD ont leurs angles égaux chacun à chacun, savoir :
BPC = APD, comme opposés par le sommet ;
comme ayant même mesure, la moitié de l'arc AC. Il en résulte que les troisièmes angles sont égaux et que les deux triangles sont semblables. En écrivant alors que les côtés homologues sont proportionnels.
PBC = PDA,
PB
PC
PD PA Il PBXPA = PCXPD.
2" Supposons maintenant que le point P soit extérieur, et considérons encore deux sécantes quelconques PAB, PCD ; il s'agit de prouver que Ton a
l»AxPB = PCxPD.
Pour cela, on observe encore que les deux triangles PBC, PAO sont semblables parce qu'ils ont leurs angles égaux, chacun à chacun. On en déduit PB PC PD "■ PA ou i*A X PB = PC X PD. .
157. Théorème. — Si d'un point pris hors d'un cercle on lui mène une tangente et . une sécante , la tangente est moyenne pi^oportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure.
Supposons que l'on mène du point P (même figure) la tangente PT et la sécante PAB ; il s'agit de prouver que l'on a
Pt' = PA X PB.
Pour cela, menons une sécante quelconque PCD, et supposons que cette sécante tourne autour du point P jusqu'cà ce que les points C et D viennent se confondre avec le point T. On a toujours, pour toutes les positions de la sécante PCD,
PCxPD = PAXPB.
Si donc C et D viennent coïncider avec T, on aura
