AB ^ CD ^^ N "~ CD

162. Problème IV. — Construiy^e la moyenne proportionnelle entre deux longueurs données a et b.

Pbemière solution. — Cette solution est basée sur la première propriété des triangles rectangles (150). Sur une droite indéfinie on porte AB == a, et, à la suite, BC = 6, puis on décrit une demi- circonférence sur AC comme diamètre. Si D est le point de rencontre de cette demi-circonférence avec la perpendiculaire à AC raenéepar le point B, BD est la moyenne proportionnelle demandée. En efifet, dans le triangle rectangle ADC on a

BD* = ABxBC ou BD*=ax6.

Deuxième solution. — Cette solution est basée sur la deuxième propriété des triangles rectangles (152). On porte, sur une droite indéfinie et à partir du même point, les longueurs AB et AC respectivement égales £) à a et à 6. Sur la plus grande, AB, de

ces deux longueurs comme diamètre on décrit une demi-circonférence, et l'on prend le point de rencontre, D, de cette demi-circonférence avec la perpendiculaire à AB menée par le point C. Si l'on mène alors AD, cette longueur est la moyenne proportionnelle demandée, car, dans le triangle rectangle ADB, on a

ÂD* = AB X AC ou ÂD* = a X fr.

Polygones réguliers.

163. Définitions. — On dit qu'un polygone est régulier 4^uand il a tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux. Le "triangle équilatéral et le carré sont des po^j^gones réguliers.

On dit qu'un polygone est inscrit dans un cercle quand il -X tous ses sommets sur la circonférence ; on dit qu'il est

GEOMfcTRIE

circonscrit h un cercle quand tous ses côtés sont tangents à la circonférence.

11 n'est pas évident a priori qu'il existe des polygones réguliers d'un nombre quelconque de côtés. Mais, si l'on observe qu'on peut toujours concevoir qu'une circonférence ait été partagée en autant de parties égales que l'on veut, le théorème suivant le démontre.

164. Théorème. — Lorsqu'une circonférence est divisée en n parties égales, si Von joint les points de division consécutifs, on obtient un polygone régulier de n côtés et, si l'on mène les tangentes aux points de division consécutifs, on obtient également un polygone régulier de n côtés.

Soient ABCD le polygone formé en joignant les points

de division, A'B'C'D' le polygone formé par les tangentes

en ces points.

1° Le polygone ABCD est

régulier. — En effet : ses côtés AB, BC, CD, etc. sont égaux, parce qu'ils sous-tendent des arcs égaux ; ses angles sont égaux, parce que ce sont des angles inscrits ayant des mesures égales.

2° Le polygone A'B'C'D'....

est régulier. — Considérons en effet les triangles AA'D, BB'A, CC'B, etc. L'un quelconque de ces triangles est isocèle, parce que les angles à la base sont égaux comme ayant même mesure (117). Deux quelconques de ces triangles sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux, chacun à chacun. II suit de là que les angles A', B', C, .... du polygone sont égaux, et qu'il en est de même des segments A A', AB', BB', etc. ...; mais alors les côtés du polygone sont aussi égaux.

Le premier polygone est inscrit dans la circonférence O et le second est circonscrit à cette circonférence.

165. Théorème. — Tout polygone régulier peut être inscrit dans un cercle et circonscrit à un autre cercle.

lo Soit ABCDEF un polygone régulier. Considérons la cir-i conférence quipîisse par trois sommets consécutifs A, B, C;, cette circonférence passe aussi par le point D. En effet, soil

01 la perpendiculaire au côté BG menée par le centre de la circonférence ; on sait que le point 1 est le milieu de BC. Si Ton replie alors la figure autour dé 01 pour amener IB sur son égal IG (ce qui est possible, puisque les angles en I sont droits), à cause de Tégalité des angles B et G du polygone, le côté BA prendra la direction du côté CD ; mais BA étant égal cà GD, le point A Tiendra coïncider avec le point D, de sorte que le quadrilatère OïBA coïncidera avec le quadrilatère OIGD. Il suit de \h que OA = OD et que la circonférence de centre et de rayon OA, circonférence qui passe par A, B, G, passe aussi par le point D.

On verrait d'une manière analogue qu'elle passe par les autres sommets du polygone, ce qui démontre que le polygone peut être inscrit dans un cercle.

20 Puisque le polygone est inscrit dans le cercle 0, les côtés du polygone sont des cordes égales qui s'écartent également du centre (95). SI donc du point comme centre on décrit une circonférence de rayon 01, cette circonférence passera par les milieux des côtés du polygone et sera tangente en ces points aux côtés correspondants, en vertu de la propriété de la tangente. Il en résulte que le polygone peut être circonscrit à un cercle.

166. Définitions. — On appelle centre d'un polygone régulier, le centre de la circonférence inscrite dans ce polygone ou, ce qui revient au même, le centre de la circonfôrepce circonscrite h ce polygone. On appelle rayon du polygone le rayon de la circonférence circonscrite et apottième le rayon de la circonférence inscrite.

On appelle angle au centre d'un polygone régulier, l'angle formé par les rayons qui vont du centre aux extrémités d'un côté.

Si l'on joint le centre d'un polygone régulier de n côtés aux sommets, on partage le polygone en n triangles isocèles égaux. Dans tous ces triangles les angles en sont égaux à l'angle au centre du polygone ; de sorte que si le polygone est convexe, comme la somme de tous ces angles vaut 4 dr. (22),

cîliaciin d'eux sera égal à — droits. Par exemple, l'angle au

X OfiA

centred'untriangleéquilatéralvaut-- de droit ou — =120»;

Tangle au centre d'un carré vaut -- = 1 dr ; Tangle au

centre d'un hexagone régulier vaut — de droit ou

— = 60O, etc.

167. Problème. — Inscrire un carré dans un cercle. Nous venons de voir que Tangle au centre du carré vaut

1 dr. Menons donc, d'après cela, deux diamètres rectangulaires du cercle, et soient A, B, G, D les points de rencontre de ces diamètres avec la circonférence. Les points A, C, B, D partagent la circonférence en quatre parties 1 1) égales ; par suite, la figure ACBD est un carré (164).

11 est facile de calculer le côté de ce carré au moyen du rayon R du cercle circonscrit En effet, le triangle rectangle OBC donne BC* = ÔB* -h ÔC* = 2RS BC = Rv/2".

L'apothème OE est la moitié du côté, car le triangle OEB est un triangle rectangle et isocèle, de sorte que OE = EB ;

BC et comme EB = EC, on a OE = -—• On aura donc

BC Rv/2' 2 "■ 2 *

168. Remarque. — Si Ton considère les sommets dtt carré et les points de rencontre de la circonférence circonscrite avec les perpendiculaires menées par le centre aux côtés du carré, en joignant les points de division consécutif on obtient un octogone régulier inscrit, et ainsi de suite.

169. Problème. — Inscrire « hexagone régulier dans un cercle.

Supposons le problème résolu «t soit ABCDEF l'hexagone dema^é.

Si nous menons OA et OB, Tani^ AOB est égal à 60o (166), de sorti que la somme des angles \ et B di

triangle AOB est égale à 120o, puisque la somme des trois

angles est égale à ISO».

Mais le triangle AOB étant isocèle, les angles A et B de ce

triangle sont égaux; donc chacun d'eux est égal à — = 60°.

Il en résulte que les angles du triangle AOB sont égaux, que le triangle est équilatéral, et enfin que le côté AB de Thexagone régulier inscrit est égal au rayon OA du cercle.

170. Problème. — Inscrire un triangle équilatéral dans un cercle.

Soit ABCDEF (même figure) Thexagone régulier inscrit dans le cercle 0. Si l'on joint les points de division de deux en deux, on obtient le triangle équilatéral inscrit ACE.

On peut se proposer de calculer le côté de ce triangle au moyen du rayon du cercle circonscrit. Pour cela, il suffit de remarquer que les côtés AC, CD, DA du triangle ACD, rectangle en C, sont égaux respectivement au côté du triangle équilatéral, au côté de Thexagone régulier, c'est-à-dire au rayon, et au diamètre. Or, on a

Âc' + CD'=Âd'; on en déduit

CD* = Âd' — Âc' = 4R» - R' = 3R2, et enfin CD = Ry/T.

171. Théorème. — Deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont semblables et le rapport de leurs périmètres est égal au rapport des rayons ou des apothèmes.

En effet, les angles de l'un quelconque de ces polygones sont égaux, puisque le polygone est régulier. Or, si le polyf ^ , gone a n côtés, nous avons vu (71) ^^ \ ^ que la somme de ses angles est (2n — 4) droits ; il en résulte que chacun des angles vaut

— - — droits,

aussi bien pour le premier polygone cjue pour le second; donc les deux polygones ont leurs gtngles égaux, chacun à chacun. Il est clair d'ailleurs que les :-4^tés homologues sont proportionnels ; donc les deux polyz^ones sont semblables.

11 reste h trouver le rapport de leurs périmètres. Pour

GF.OMÉTRIE

cela, il faut se rappeler que le rapport des périmètres de deux polygones semblables est égal au rapport de deux côtés homologues (148). Cela posé, soient AB, A'B' les côtés des deux polygones, de centres respectifs et 0'. Les deux triangles AOB, A'O'B' sont isocèles et ont les angles en et en 0' égaux comme angles au centre de deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés ; donc les angles à la base sont égaux et les deux triangles sont semblable». 11 en

résulte que le rapport —7-7 est égal au rapport 7—-, des A B A

rayons. Mais, si Ton mène les apothèmes 01 et O'I', les

triangles rectangles OIA, O'I'A' sont aussi équiangles, et par

suite semblables ; on a donc aussi