LIVRE lY : LES AIRES

Aire d'un polygone quelconque.

181. DéfinUions. — On appelle aire l'étendue d'une portion limitée de surface. On dit fréquemment surface d'un polygone au lieu de dire aire d'un polygone.

On dit que deux surfaces sont équivalentes quand elles ont' la môme aire, qu'elles soient ou qu'elles ne soient pas superposables.

Mesurer une aire, c'est la comparer à une autre aire prise pour unité (V. Arithm., 161).

On prend pour unité d'aire l'aire du carré construit sur l'unité de longueur ; de cette manière la mesure de certaines aires se ramène, comme on le verra, à la mesure de certaines longueurs.

Suivant que l'unité de longueur est le mètre, Vhectomètref

le centimètre j etc., Funité de surface est le mètre carré, Vhectomètre carré, le centimètre carré, etc. Rappelons, d'ailleurs, que rhectoraètre carré vaut 100 décamètres carrés, que le niètre carré vaut 100 décimètres carrés, etc. En d'autres termes,chaque unité d'aire vaut iOO fois l'unité d'aire immédiatement inférieure.

Dans les mesures des champs, on appelle mesures agraires Vhectare, ïare et le centiare. Elles sont respectiTement équivalentes à l'hectomètre carré, au décamètre carré et au mètre carré.

Dans un triangle on appelle hase et hauteur correspondante un côté quelconque et la perpendiculaire à ce côté menée par le sommet opposé.

On appelle base d'un parallélogramme un côté quelconque ; la hauteur est alors la distance de ce côté au côté qui lui est parallèle. E^ particulier, dans un rectangle la hauteur qui correspond à un côté est égale au côté non parallèle à celui-là.

On appelle trapèze un quadrilatère dont deux côtés seulement sont parallèles. Ces côtés parallèles s'appellent alors les bases du trapèze, et Ton appelle hauteur la distance des bases.

182. Théopf^me. — Le rapport des aires de deux rectangles qui ont même base est égal au rapport des hauteurs. Observons d'abord que si deux rectangles ont des bases égales et des hauteurs égales, ils B sont superposables. Cela posé,

considérons deux rectangles ABCD, A'B'C'D' ayant des bases égales, DC = D'C, et supposons qu'une même longueur soit con-

^ C tenue 3 fois dans la hauteur AB

A*, ,B' du premier et 4 fois dans la

hauteur A'D' du second, de sorte AD 3 ., ,

de prouver que

ABCD __3^ A'B'C'D' ~"~4 ' en appelant ABCD et A'B'C'D' les

aires respectives des deux rectangles.

Pour cela, partageons AD en 3 parties égales, A'D' en 4 parties égales, et, par les points de division, menons des parallèles aux bases respectives. Nous partageons ainsi le premier rectangle en 3 rectangles égaux comme ayant des bases égales et des hauteurs égales ; nous partageons de même le second rectangle en 4 rectangles égaux pour la même raison ; enfin, les rectangles partiels du premier sont égaux aux rectangles partiels du second, toujours pour la même raison. Il en résulte que le même rectangle est contenu 3 fois dans A6GD, 4 fois dans A'B'G'D', et par suite que l'on a