A'B'G'D' AD
183. Remarque. — Gomme on peut prendre pour base un côté quelconque du rectangle, on peut dire aussi que le rapport des aires de deux rectangles qui ont même hauteur est égal au rapport des bases.
184. Théorème. -- Le rapport des aires de deux rectangles quelconques est égal au produit du rapport des bases par le rapport des hauteurs.
Soient R et R' les aires de deux rectangles de bases respectives b et b' et de hauteurs respectives h et h'. Appelons R" l'aire d'un rectangle de base b et de hauteur h\ On a (183)
R' "~ b' ' d'autre part, on a aussi (182)
R" ~ A' ' £n multipliant membre à membre, il vient
185. Tbéorème. — Uaire d'un rectangle est égale au j^roduit de sa base par sa hauteur.
On veut dire, par là, que l'aire d'un rectangle a pour mesure Je produit du nombre qui mesure sa base par le nombre qui rnesiire sa hauteur.
Appelons, en effet, R Taire du rectangle considéré, de base b et de hauteur h, et supposons que le rectangle R' du théorème précédent soit le carré construit sur l'unité de longueur. Alors, dans Tégalité
b fi
R' étant l'unité d'aire, b' et h' les unités de longueur, le
R rapport -^ est le nombre qui mesure l'aire du rectangle
(V. Arithm.y 162) ; de même -rr ^t -77 sont les nombres qui b h
mesurent respectivement la base et la hauteur de ce rectangle.
L'égalité précédente exprime donc le théorème énoncé.
186. Corollaire. — Vaire d'un carré est égale au carré de son côté.
Le carré est en effet un rectangle dont la base est égale à la hauteur.
187. Théorème. — L'aire d'un parallélogramme est égale au produit de sa base par sa hauteur.
Menons en effet des sommets G et D du parallélogramme ABCD les perpendiculaires CE et DF à la base AB. Les deux triangles rectangles ADF, BCF ainsi obtenus sont égaui, parce que AD = BC et que DF = CE comme parallèles comprises entre parallèles. Si donc on considère le parallélogramme ABCD et le rectangle DCEF, on voit qu'ils sont équivalents, parce qu'ils ont une partie commune DCBF, et que les parties non communes ADF, BCE sont superposables. Mais nous venons de Toir que l'aire du rectangle est égale au produit de sa base par sa hauteur et, d'autre part, il est visible que la base et la hauteur du parallélogramme sont respectivement égales h. la base et h. la hauteur du rectangle. Il en résulte que Faire da parallélogramme est bien égale au produit de sa base par sa hauteur.
188. Corollaire. — Deux parallélogrammes qui ont det bases égales et des hauteurs égales sont équivalents.
189. Théorème. — Uaire d'un triangle est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur.
Menons en effet par le sommet A d'un triangle ABC la parallèle au côté BC, et par le sommet C la parallèle au côté AB. Nous obtenons ainsi un parallélogramme ABCD qui a même base et même hauteur que le triangle. L'aire de ce parallélogramme est le double de l'aire du triangle ABC, car les deux triangles ABC, ADG sont égaux comme ayant les trois côtés égaux, chacun à chacun. Comme l'aire du parallélogramme est égale au produit de la base par la hauteur, l'aire du triangle, qui en est la moitié, sera égale à la moitié de ce produit. Ainsi, on a bien
aire ABC = i-BCxAH.
190. Corollaires. — 1" Deux triangles qui ont des bases égales et des hauteurs égales sont équivalents ;
2» Le rapport des aires de deux triangles qui ont des bases égales est égal au rapport des hauteurs ;
S" Le rapport des aires de deux triangles qui ont des hauteurs égales est égal au rapport des bases.
191. Théorème. — L'aire d'un trapèze est égale au produit de la demi-somme des bases par la hauteur.
Dans le trapèze ABCD menons en effet la diagonale BD ; nous partageons ainsi le trapèze en deux triangles ABD, BDC dont les mesures respectives sont
ABXDH
et
--DCXDH.
Comme l'aire du trapèze est la somme des aires de ces triangles,
on voit que la mesure de l'aire du trapèze sera 1 1 ^^ .„ AB + CD
yABxDH
---DCxDH =
XDH.
192. Remarque. — Par le raiUeu E de AD menons la j)araUèle EFG aux bases du trapèze. Les deux triangles sem- Jjlables DEF, DAB donnent alors
EF DF DE J[^ AB "~ DB "" DÂ " 2 ' ce qui montre que EF est la moitié de AB et que le point F est le milieu de DB. En considérant alors les deux triangles semblables BFG, BCD, on voit de même que FG est la moitié de CD et que le point G est le milieu de BC. Il en résulte que la ligne qui joint les milieux des deux côtés non parallèles d'un trapèze est parallèle aux hases et égale à la demisomme des bases.
En rapprochant ce résultat du théorème précédent, on Toit que Taire d'un trapèze est égale au produit de la ligne qui joint les milieux des côtés non parallèles par la hauteur.
193. Aire d'un polygone quelconque. — Pour trouver Taire d'un polygone quelconque on le décompose en triangles
par des diagonales issues du même
B sommet, on évalue Taire de chacun
A > de ces triangles et on fait la somme
/ [ 1\ des aires ainsi obtenues.
/ j <; 1 \ ^^ P®"*^ encore mener une dingo-
<- — ^ l~"c/D nîilG quelconque AD, abaisser des
\v^^ [ / sommets du polygone des perpen- ^s. I / diculaires B&, Ce, Ee sur cette dia-
^^ gonale et faire la somme des aires
des trapèzes et des triangles rectangles ainsi obtenus dans le polygone.
194. Problème — Construire un polygone équivalent à un polygone donné et ayant un côté de moins.
Soit le polygone ABGDËF ; menons la diagonale AG et la parallèle BF à cette diagonale, jusqu'au point de rencontre F avec le côté AE, puis joignons le point F au point C Nous obtenons ainsi un triangle FCA qui est équivalent au triangle ABC, parce que les deux triangles ont Ut même base et des hauteurs égales, n ^ ^ '^ en résulte que le polygone FCDE, pol^
gone qui a un côté de moins que le polygone donné, es équivalent à celui-ci. Le problème est ainsi résolu.
196. Problème. — Construire un triangle équivalent un polygone donné.
On remplace le polygone par un autre équivalent ayai
un côté de moins (194), celui-ci par un autre équivalent ayant un côté de moins, et ainsi de suite jusqu'au triangle équivalent.
196. Définition. — Faire la quadrature d'une figure, c'est trouver le côté du carré équivalent à cette figure. On fait la quadrature d'un triangle en construisant la moyenne proportionnelle entre la base et la moitié delà hauteur du triangle. En vertu du problème précédent, on peut faire la quadrature d'un polygone quelconque. La quadrature du cercle est impossible.
Rapport des aires de deux polygones semblables.
197. Théorème. — Le rapport des aires de deux triangles semblables est égal au rapport des carrés de deux côtés homologues.
Considérons en effet deux triangles semblables ABC, A'B'C, et menons les hauteurs homologues CD, CD'. En appelant ABC, A'B'C les aires des deux triangles, on a
ABC= yABxCD,
A'B'C = yA'B' X CD'.
On en déduit
