ABC

c'est-à-dire

■A'CD'-h

ABCDK A'B'CD'E'

Aire d'un polygone régulier et d'un cercle

199. Définitions. — On appelle secteur polygonal régi lier lîï portion du plan comprise entre une ligne brisée régi lière et ses deux rayons extrêmes.

On appelle secteur circulaire la portion de Taire d'i

cercle comprise entre un arc de ce cercle et les deux rayons qui aboutissent aux extrémités de cet arc.

On appelle, enfin, aire d'un cercle la limite vers laquelle tend l'aire d'un polygone régulier convexe inscrit dans ce cercle, quand le nombre des côtés de ce polygone augmente indéfiniment de manière que chaque côté tende vers zéro. En remplaçant le cercle par un secteur circulaire et le polygone par un secteur polygonal régulier, on a la définition de Taire d'un secteur circulaire.

200. Théorème. — Vaire d'un polygone régulier est égale au produit du périmètre par la moitié de Vapothème.

Soit, en efl'et, ABCDEF un polygone régulier de centre 0. Si on joint le point aux sommets du polygone, on décompose le polygone en triangles isocèles qui ont des bases égales AB = BC = CD, etc. , et des hauteurs égales à la hauteur OH de l'un d'eux, c'est-à-dire à l'apothème du polygone. En faisant la somme des aires de tous ces triangles, on obtient l'aire du polygone ; on a donc

.T>/.fvi.r. ABXOH BCxOH CDxOH DExOH ABCDEF = 2 + 2 -^ + ^