LIVRE V : LE PLAN

Détermination du plan.

204.-— Définitions.— Nous avons appelé p^an ou sut, face plane (4) une surface telle qu'elle contient une droilê

tout entière dès qu'elle en contient deux points. En Tertu de cette définition, si une droite rencontre un plan sans être située dans ce plan, elle ne peut le rencontrer qu'en un seul point. Ce point s'appelle le pied de la droite sur le plan et l'on dit que la droite perce le plan.

205.— Théorème. — Par une droite et par un point extérieur à cette droite, on peut faire passer un plan et un seul.

Soient une droite AB et un point C extérieur à cette droite. Imaginons qu'un plan tourne autour de AB ; comme ce plan ya passer successivement par tous les points de l'espace, il y a une position pour laquelle il passe par le point 0. Il y a donc un plan passant par la droite AB et par le point C : soit P ce plan.

Prouvons qu'il n'y en a qu'un. Pour cela, joignons le point C à un point quelconque, A, de AB et observons d'abord que la droite AC est tout entière dans le plan P, puisqu'elle y a deux de ses points. Pour une raison toute pareille, la droite AC sera contenue dans tout plan passant par AB et par C.

Cela posé, supposons alors qu'il existe un second plan, Q, passant par AB et par C ; prenons un point quelconque, M, du plan Q et, de ce point, menons dans le plan Q une droite qui rencontre AC en E et AB en D. Cette droite ayant deux points, D et E, dans le plan P, y est contenue tout entière. Il en résulte que tout point M du plan Q est situé dans le plan P. La réciproque se démontrant évidemment de même, il est clair que le plan Q coïncide avec le plan P et, par suite, qu'il n'y a qu'un seul plan passant par AB et par C.

206. Corollaires. — l" Par deux droites qui se coupent on peut faire passer un plan et un seul,

2«» Par trois points non en ligne droite on peut faire passer un plan et un seul.

3*» Par deux droites parallèles on peut faire passer un oîan, par définition, et on n'en peut faire passer qu'un en 7ertu de 2^.

207. Remarque. — On dit encore qu'un point est déterminé : par une droite et un point extérieur; par deux droites qui se coupent ou sont parallèles ; par trois points 7ion en ligne droite.

208. Génération d'un plan. — D'après cela, on peut concevoir qu'un plan est engendré, soit par une droite qui se meut parallèlement à elle-même en rencontrant une droite fixe, soit par une droite qui passe par un point fixe et s'appuie sur une droite fixe.

209. Théorème. — Lorsque deux plans se coupent, leur intersection est une ligne droite.

En effet, si A et B sont deux points de rintersection des deux planSj la droite AB fait tout entière partie des deux plans (204), c'est-à-dire de leur intersection. En outre, il n'y a pas de points de rintersection en dehors de AB, car les deux plans seraient confondus (205).

Perpendiculaires et Obliques à un plan.

210. Définitions. — On dit qu'une droite est perpendiculaire à un plan quand elle est perpendiculaire à toutes les droites qui passent par son pied dans ce plan. On dit aussi, dans les mêmes conditions, que le plan est perpendiculaire à la droite.

On dit qu une droite est oblique à un plan quand elle coupe ce plan sans lui être perpendiculaire.

Les théorèmes suivants prouvent qu'il existe des droites perpendiculaires à un plan.

211. Tliéorème. — Lorsqu'une droite est perpendiculain à deux droites qui passent par son pied dans un plan, elle est perpendiculaire à ce plan.

Supposons, en effet, que la droite AB soit perpendiculaire aux deux droites BC et BD qui passent par son pied dans le plan P, et, dans le plan P, menons une droite quelconque BE passant par B ; il suffit évidemment de prouver que AB est perpendiculaire à BE.

Pour cela, coupons les trois droites BC, BE, BD par u!« droite quelconque CED, nécessairement située dans l6

Le PUH

plan P (204), prolongeons BA d'une longueur BA' = BA, et joignons le point A' aux trois points C, E, D. Nous obtenons ainsi deux triangles ACA', ADA' qui sont isocèles, parce que les droites CB et DB qui joignent les sommets au milieu de la hase AA' sont perpendiculaires à cette base, par hypothèse. Il ' en résulte que AC = A'C et que AD = A'D, de sorte que les deux triangles ACD, A'CD ont les trois côtés égaux, chacun à chacun, et sont égaux.

Imaginons alors qu'on fasse tourner le triangle A'CD autour de CD de manière à amener le point A' en A, ce qui est possible puisque les triangles sont égaux et que Ton fait ainsi coïncider les éléments égîiux. Comme le point E reste fixe, la droite A'E Tient coïncider avec AE ; il en résulte AE == A'E. Mais alors le triangle AEA' étant isocèle, la ligne EB qui joint le point E au milieu de la base AA' est perpendiculaire à cette base, ce qui démontre le théorème.