Théorème. — Par un point C pris sur une

droite AB on peut mener un plan perpendiculaire à Ah, et

on n'en peut mener qu'un,

10 On peut en mener un.— Dans un plan quelconque Q

passant par AB menons en effet CD

perpendiculaire à AB, puis menons

CE perpendiculaire à AB dans un

autre plan Q' passant aussi par AB.

Les droites CD et CE déterminent

un plan P qui est perpendiculaire

à AB par définition.

20 On n'en peut mener qu'un. — Supposons en effet qu'il en existe un autre, P'. Si Ton imagine Fintersection de Q et de P', cette droite étant située dans le plan P' sera perpendiculaire à AB, puisque AB est perpendiculaire au plan P' (210) ; de plus elle passera par le point C. Or, la perpendiculaire à AB, menée par le point C, dans le plan Q, sst CD ; donc Q et P' se coupent suivant CD.

On voit de même que Q' et P' se coupent suivant CE et, par suite, que P et P' passent tous deux par CD et par CE. Mais alors P' coïncide avec P, et il n'y a qu'un seul plan mené par le point C perpendiculairement à AB.

213. Corollaire. — Le lieu des perpendiculaires à une droite AB menées par te point C de cette droite est le plan P perpendiculaire à AB mené par le point C.

En effet, les deux droites CD et CE (même figure) qui déterminent le plan P sont deux queloonques des perpendiculaires à AB menées par le point C. Comme le plan P est unique, il est le lieu des droites analogues à CD et à CE.

214. Théorème. — Par un point pris hors d'une droite on peut mener un plan perpendiculaire à celte droite et on 71' en peut mener qu'un.

Soit C un point non situé sur la droite AB. Appelons P le plan déterminé par le point C et par la droite AB, et soit Cl la perpendiculaire à AB menée par le point C dans le plan P. Par le point I menons le plan Q perpendiculaire k AB. Ce plan contenant toutes les perpendiculaires à AB menées par I (210), contient IC ; donc il passe par le point C, ce qui montre qu'il existe un plan mené par C perpendiculairement à AB.

11 n'en existe qu'un, car s'il en existait un autre coupant AB en un point r distinct du point 1, la droite AB serait perpendiculaire à CF. Mais alors on pourrait mener par le point C, dans le plan P, deux droites CI et Cl' perpendiculaires à AB, ce qui est impossible (45). D'ailleurs si un plan mené par le point C perpendiculairement à AB passait par le point 1, il serait nécessairement confondu avec le plan Q (212).

215. Théorème. — Par un point pris dans un plan on peut mener une perpendiculaire à ce plan et on n'en peu mener qu'une.

Par le point A, situé dans le plan donné P, menons en efif* deux droites AB et AC perpendiculaires entre elles et les plai U et R respectivement perpendiculaires à ces deux droites r

point A. Ces deux plans se coupent suivant une droite AD qui est perpendiculaire à AB et à AC, parce que ces deux droites sont perpendiculaires respectivement aux plans Q et R ; donc AD est perpendiculaire au plan P, et il existe une droite perpendiculaire au plan P au point A.

Il n'en existe qu'une, car s'il en existait une autre, AE, le plan Qi des deux droites AE, AD couperait le plan P sui- Tant une droite A F qui serait perpendiculaire à la fois à AD et à AE. 11 existerait donc deux droites AD, AE situées dans le plan Qi et perpendiculaires à AF au point A, ce qui est impossible (15).

216. Théorème. — Par un point non situé dans un plan on peut mener une perpendiculaire à ce plan et on n'en peut mener qu'une.

Soient P et A le plan et le point donnés. Dans le plan P menons une droite quelconque CD et appelons Q le plan perpendiculaire à CD mené par A.

Soient BC l'intersection des deux plans P et Q, et AB la perpendiculaire à BC menée par le point A dans le plan Q. Nous allons montrer que AB est perpendiculaire au plan P. Pour cela, nous allons faire voir qu'elle est perpendiculaire à une autre droite, BD, menée par le point B dans le plan P. A cet effet, prenons

BA' = BA et joignons les points D et C aux points A et A'. Les deux droites CA et CA' sont évidemment dans le plan Q, puisque celui-ci passe par A, par B et par C; et comme CD est perpendiculaire au plan Q, les deux triangles DCA, DCA' sont rectangles en C. Ces deux triangles rectangles ont le côté CD commun; de plus CA = CA', parce que la droite CB est perpendiculaire sur le milieu de la base AA' du triangle CAA'. 11 en résulte que les deux triangles rectangles sont égaux et, par suite, que DA = DA'. Mais alors le triangle

MANUEL DE RHÉT.

g5 GÉOMÉTRIE

ADA' est isocèle, et comme B est le milieu de AA', la droite BD est perpendiculaire à A A' ; donc AB étant perpendiculaire à BC et à BD, sera perpendiculaire au plan P. Ainsi on peut, du point A, mener une perpendiculaire au

plan P. .^

On n^en peut mener qu'une, car si on pouvait en mener une autre, AE, dans le plan ABE on pourrait mener du point A deux perpendiculaires à Tintersection BE de ce plan et du plan P, ce qui est impossible (45).

217 Théorème des trois perpendiculaires. — Si du pied A de la perpendiculaire AB au plan P on ahaUse la perpendiculaire AE sur une droite quelconque CD du plan P, la droite BE qui joint le point E à wn point quelconque B de la perpendiculaire AB est perpendiculaire a CD.

Portons en effet sur la droite CD, de part et d autre du point E, deux longueurs égales, EC, ED, et joignons les ^ points C et D aux points A et B.

Le triangle ACD est isocèle, puisque AE est perpendiculaire à CD en son milieu ; donc AD = AC.

Mais alors les deux triangles BAD et BAC, qui sont rectangles en A.

sont égaux. 11 en résulte que

^ ^ BD = BC et que le triangle Bïm:

est isocèle. Or, la droite DE joint le point B au milieu de la base, donc elle est perpendiculaire à cette base. C.U.I?.D.

218 Tliéorème. — Si d'un point pris hors d'un plan on mène la perpendiculaire et des obliques à ce plan :

10 La perpendiculaire est plus courte que toute oblique; 20 Deux obliques également éloignées du pied de la perpendiculaire sont égales ; . n' ^ «,W ^^ 1^ «— 30 Veux obliques inégalement éloignées du pied de la perpendiculaire sont inégales ; celle qui s'en écarte le plus est la plus grande

10 Soient BA et BC la perpendiculaire et une oblique à un plan P. Le plan Q de ces deux droites coupe le plan P suivant la droite AC perpendiculaire à AB, de sorte que le triangle BAC est un triangle rectangle dont BC est l'hypoténuse; donc BC>BJL.

2o Considérons deux obliques BD et BC telles que AD=AC. Les deux triangles rectahgles BAD, BAC sont égaux ; donc BD = BC.

30 Considérons maintenant deux obliques BC et B£ telles que Ton ait A£ > AC. Si, sur AE, nous prenons AD = AC, nous venons de voir (2») que BD = BC ; il suffit donc de prouver que BE > BD. Or, ceci résulte de ce que BD et BE sont situées dans le plan BAE et s'écartent inégalement du point A pied de la perpendiculaire à AË menée par le point B dans le plan BAE.

219. Remarque. — Les réciproques de ces propositions sont vraies et se démontrent par l'absurde. On en conclut, en particulier, que si du point B on mène des obliques égales au plan P, le lieu des pieds de ces obliques sur le plan P est une circonférence qui a pour centre le point A, pied de la perpendiculaire menée du point B sur le plan P.

220. Distance d'un point à un plan. — On appelle distance d'un point B à un plan P, la longueur BA de la perpendiculaire menée du point B sur le plan P. C'est la plus courte de toutes les droites qui vont du point B à un point quelconque du plan P.

Parallélisme des droites et des plans.

221. Définitions. — On dit qu'une droite et un plan sont parallèles quand ils ne se coupent pas, à quelque distance qu'on les suppose prolongés tous les deux.

On dit que deux plans sont parallèles quand ils ne se coupent pas, à quelque distance qu'on les prolonge tous les deux.

222. Théorème. — Deux droites perpendiculaires au même plan sont parallèles.

Soient AB et CD deux droites g perpendiculaires au même plan P.

Pour prouver qu'elles sont parallèles, il faut prouver : !<> qu'elles sont dans le même plan ; 2° qu'elles ne se coupent pas.

11 est clair, d'abord, qu'elles ne se coupent pas ; car si elles se coupaient, par leur point d'intersection on pourrait mener deux perpendiculaires au même plan, ce qui est impos-

sible. Il reste donc à prouver qu'elles sont dans le même plan.

Pour cela, joignons A à C et menons CE perpendiculaire à AC dans le plan P. Comme CE est aussi perpendiculaire à CD, elle est perpendiculaire au plan ACD ; le plan ACD est donc le lieu des perpendiculaires à CE au point C (213). Or, si Ton joint le point C à un point quelconque B de AB, la droite CB est l'une de ces perpendiculaires, en vertu du théorème des trois perpendiculaires ; donc le plan ACR contient CB et par suite contient aussi AB ; donc AB et CD sont dans le même plan.

223. Théorème. — Réciproquement y si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'un est aussi perpendiculaire à l'autre.

Soient, en effet, AB et CD (même figure) deux droites parallèles et P un plan perpendiculaire à AB. Si, par un point quelconque de CD, on mène la perpendiculaire au plan P, cette perpendiculaire sera parallèle à AB (222) ; elle sera, par conséquent, confondue avec CD, puisque par un point on ne peut mener qu'une parallèle à une droite . Donc le plan P est aussi perpendiculaire à CD.

224. Théorème. — Lorsque deux droites sont parallèles à une troisième f elles sont parallèles entre elles.

Soient, en effet, AB et CD deu\ droites parallèles à EF. Si Ton mène un plan P perpendiculaire à EF, ce plan, d'après ce qu'on vient de voir, est perpendiculaire à AB et à CD ; donc AB et CD sont parallèles (222).

225. Théorème. — Lorsqu'une droite AB non située dans un plan P est parallèle à une droite CD de ce plan, elle est parallèle au plan.

Les deux droites AB et CD étant parallèles, sont situées dans le même plan; soit Q ce plan, qui coupe évidemment le plan P suivant la droite CD. Tous les points de AB étant situés dans le plan Q, si AB rencontrait le plan P elle ne pourrait le rencontrer qu'en un point de Tintersectioa

des deux plans P et Q, c'est-«\-dire en un point de CD. Or, ceci est impossible, puisque AB et CD sont paralllèles ; donc AB est parallèle au plan P .

226. Théorème. — Lorqu'une droite AB {même fig.) est parallèle à un plan P, tout plan mené par AB coupe le

.plan P suivant une droite CD parallèle à AB.

En effet : !<> les droites AB et CD sont dans le même plan; 2° elles ne se rencontrent pas, parce que si elles se rencontraient, AB rencontrerait le plan P et ne lui serait pas parallèle, contrairement à l'hypothèse ; donc AB est parallèle à CD.

227. Théorème. — Lorsqu'une droite AB (même flg.) est parallèle à un plan P, si par un point C du plan P on mène la parallèle à AB, la droite CD ainsi obtenue est située dans le plan P.

En effet, le plan ABC coupe le plan P suivant une parallèle à AB qui ne peut être que CD, puisque par un point on ne peut mener qu'une parallèle à une droite.

228. Corollaire. —Lorsqu'une droite est parallèle à deux plans qui se coupent^ elle est parallèle à leur intersection.

Car si par un point quelconque de l'intersection on mène la parallèle à la droite, elle doit être à la fois dans les deux plans, c'est-à-dire à leur intersection ; donc celle-ci est parallèle à la droite donnée.

229. Théorème. — Si on coupe deux plans parallèles par un troisième, les dev^ droites d'intersection ainsi obtenues sont parallèles.

En effet: !<> elles sont dans le même plan ; 2o elles ne se rencontrent pas, parce que si elles se rencontraient les deux plans se rencontreraient aussi, ce qui est contraire à l'hypothèse, puisqu'ils sont parallèles.

230. Corollaire. — Lorsque deux plans sont parallèles, si par un point de Vun on mène une droite parallèle à Vautre, la droite ainsi obtenue est située dam le premier.

Soient P et Q deux plans parallèles et soit CD' une droite parallèle au plan P mené par un point C du plan Q. Coupons les deux plans P et Q par un troisième plan R et soient AB et CD les droites suivant lesquelles P et

'ŒxJ

Q sont coupés par R. On voit alors : i* que AB est parallèle à CD' (226); 2° que AB est parallèle à CD. Il en résulte que CD et CD' coïncident, et, par suite, que CD' est située dans le plan Q.

231. Théorème. — Lorsque deux plans sont perpendiculaires à la même droite, ils sont parallèles.

En effet, s'ils se rencontraient, on pourrait, par un point de Tintersectlon, mener deux plans perpendiculaires à la même droite, ce qui est impossible (214).

Ce théorème prouve qu'il existe des