DE < CB

Cela posé, il s'agit de prouver que l'on a

ASD -h DSB < ASC -h CSB, ou DSB < CSB,

puisque ASD est égal à ASC. Or, les deux triangles CSB, DSB ont deux côtés égaux chacun k chacun et le troisième côté DB du second est inférieur au troisième côté CB du premier. Il en résulte (44) que l'angle DSB est inférieur à l'angle CSB et, par suite, que l'angle ASB est inférieur à la somme ASC H- CSB.

256. Remarque. — En raisonnant comme pour les triangles (40), on déduit de là que dans tout trièdre une face quelconque est plus grande que la différence des deux autres.

256. Théorème. — La somme des faces d*un angle polyèdre convexe est inférieure à 4 droits.

On dit qu'un angle polyèdre est convexe quand il est situé tout entier d'un môme côté par rapport au plan de l'une des faces prolongé indéfiniment.

Cela posé, considérons, par exemple, un angle polyèdre à quîitre faces SABCD, et coupons-le par un plan quelconque rencontrant toutes les arêtes du môme côté du sommet, de sorte que nous obtenons ainsi un polygone convexe ABCD. Chaque sommet de ce polygone convexe peut être considéré comme le sommet d'un angle trièdre. Appliquons alors le théorème précédent à tous ces trièdres et nous aurons les inégalités

ABC < ABS -H SBC, BCD < BCS-f SCD, CDA < CDS -H SDA, DAB < DAS-hSAB.

Ajoutons maintenant toutes ces inégalités membre à membre et observons : !• que, dans le premier membre, nous avons la somme des angles cà la base du polygone convexe ABCD,

c'est-à-dire (2n — 4) droits (71), en appelant n le nombre des faces du polyèdre; 2» que, dans le second membre, nous avons la somme des angles à la base des n triangles SAB, SBC, SCD, SDA. Or, si Ton appelle S la somme des faces de Tangle polyèdre, la somme des angles de tous ces triangles, somme qui vaut 2n droits, puisqu'elle vaut 2 dr. pour chaque triangle, est égale à S augmentée de la somme des angles à la base ; donc, celle-ci est égale à (2» — S) dr. Il en résulte que Tinégalité obtenue peut s'écrire

(2n — 4) dr. < {2n — S) dr.

ou S<4droits. C.Q.F.D.

257. Remarque. — Cette propriété étant applicable aux trièdres, qui sont des angles polyèdres convexes, à la propriété des trièdres énoncés plus haut, on peut joindre la suivante :

La somme des faces d'un angle trièdre est plus petite que 4 droits.

258. Trièdres symétriques. — Si Ton prolonge les arêtes d'un trièdre SABC au delà du sommet, on forme un second trièdre SA'B'C appelé trièdre symétrique du premier.

Deux trièdres symétriques ont leurs faces respectivement égales comme angles opposés par le sommet, et leurs dièdres respectivement égaux comme opposés par l'arête; ils ont donc leurs éléments égaux, chacun à chacun. Cependant ils ne sont pas superposables parce que les éléments égaux ne présentent pas la même disposition dans les deux trièdres. En effet, imaginons un premier obser- \B' -c' vateup couché sur SA, la tête en S,

V /a' les pieds en A et regardant la fîlce

\ : / opposée BSC; puis un second observa-

\i/ teur couché sur Tarête SA' du second

yp& trièdre, la tète en S, les pieds en A*

/l\ et regardant la face opposée B'SC. Tan-

/ I \ dis que le premier observateur a Ta-

A / / \ rè te SB à sa gauche et Tarête SC à sa

/ ^ droite, le second observateur a Varèle

c/ SB', qui correspond à SB, à sa droite

et l'arête SC, qui correspond à SC, à sa gauche. C'est pour cette raison que l'on dit que les deux trièdres ne présentent pas la même disposition.

Il est clair d'ailleurs que ces deux trièdres ne sont pas superposables. En effet, si on suppose le second observateur

LES POLYÈDRES lOi

inyarïablement lié au second trièdre, et si on amène le dièdre SA' à coïncider ayec le dièdre SA de manière à faire comcider les deux observateurs, les autres éléments égaux dans les trièdres ne coïncideront pas, car, tandis que le dièdre SB est à la gauche de Tobservateur, le dièdre égal, SB', est à sa droite.