i sommets A, B, C, D, E d'un polygone
/ : / / / plan et, sur les droites ainsi obtenues,
/ / / / ^^ porte des longueurs égales AA', BB',
/ E;...y..../I) / etc. Les points A', B', C',... ainsi obtenus
4^^ / \] sont alors dans le même plan, qui est le
-A ^ ^""^^"^^ P^^"^ mené par l'un d'eux parallèlement
^ au plan ABCDE. En efiTet, les figures
^BA'B', BCB'C, etc. sont des parallélogrammes ; il en résulte que
X "Angle A'B'C est égal à l'angle ABC et que le plan A'B'C est
^parallèle au plan ABC (238), de sorte que les points B' et C
MAN. DE HHÉT. 17
sont dans le plan mené par A' parallèlement à ABC. On \oit alors, de proche en proche, que les autres sommets sont situés dans ce même plan.
Si nous ajoutons que les deux polygones ABCDE, A'B'C'D'E' sont égaux comme ayant leurs éléments égaux, chacun à chacun, nous voyons que nous avons bien formé un prisme.
Dans ce prisme, les droites AA',»BB',... s'appellent les arêtes latérales i et Ton dit qu'un prisme est droit ou oblique suivant que les arêtes latérales sont perpendiculaires ou obliques aux plans des bases. Les faces latérales d'un prisme droit sont évidemment des rectangles.
On appelle hauteur d'un prisme quelconque la distance des deux bases.
261. Parallélépipèdes. — On appelle parallélépipède un prisme dont les bases sont des parallélogrammes. Un parallélépipède a six faces qui sont des parallélogrammes.
Lorsque les arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases, le parallélépipède est droit ; si de plus les bases sont des rectangles, le parallélépipède est rectangle. Les six faces d'un parallélépipède rectangle sont des rectangles.
Un cube est un parallélépipède rectangle dont les six faces sont des carrés.
262. Théorème. — Dans un parallélépipède, deux faces opposées quelconques sont des parallélogrammes égattx et parallèles.
Soient ABCD, A'B'C'D' les bases d'un parallélépipède. Prouvons, par exemple, que les deux parallélogrammes ADA'D' et BCB'C' sont égaux et parallèles. Observons, pour cela, d'abord, que A A' et BB' sont égales ^ et parallèles, et que BG et AD sont
-h égales et parallèles comme arêtes
/\ opposées de parallélogrammes; ob-
A, \ servons ensuite que les angles A'AO
\ \ et B'BC ont leurs côtés parallèles et
> 'V'JO de même sens et, par suite, qu'ils
\ / sont égaux et que leurs plans sont
^ parallèles. Il en résulte alors que
^ ^ les deux parallélogrammes consi^
dérés ont leurs éléments égaux»
chacun à chacun, et sont égaux ; d'ailleurs nous venons ^
LES POLYEDRES
dire que leurs plans sont parallèles, puisque ces plans sont précisément ceux des angles A'AD et B'BC.
11 suit de là que l'on peut prendre pour bases d'un parallélépipède deux faces opposées quelconques.
263. Théorème. — Si on coupe les faces latérales d'un parallélépipède par un plan, la Stction obtenue est un parallélogramme.
Soit, en effet, EFGH la section obtenue en coupant par un plan le parallélépipède ABCDA'B'C'D'. Les plans des faces ABA'B' et CDC'D' étant parallèles, les droites EF et GH sont parallèles (229) ; les droites EH et F G sont aussi parallèles pour la même raison ; donc le quadrilatère EFGH est un parallélogramme (74).
264. Théorème.— Les diagonales d'un parallélépipède se coupent mutuellement en parties égales.
On appelle diagonales d'un parallélépipède ABCDA'B'CD' les lignes qui joignent deux sommets opposés tels que B et D'.
Cette définition étant donnée^ considérons deux diagonales BD' et B'D et menons le plan des deux arêtes parallèles BB' et DD'. Ce plan coupe les bases suivant deux droites parallèles, BD et B'D* (229) ; il en résulte que la figure BDD'B' est un parallélogramme et que le point de rencontre, 0, des diagonales considérées est le milieu de chacune d'elles.
On Terrait de même que la diagonale BD' et une autre diagonale se coupent en leurs milieux, de sorte que le point est le milieu des quatre diagonales.
Quand le parallélépipède est rectangle, la figure BDB'D' étant un rectangle, on voit que les diagonales d'un parallélépipède rectangle sont égales.
265. Théorème. — Les sections faites dans un prisme par deux plans parallèles sont des polygones égaux.
i 04 GÉOMÉTRIE
On constate, en effet, sans la moindre difficulté, que ces polygones ont leurs côtés égaux, chacun à chacun, comme côtés opposés de parallélogrammes, et leurs angles égaux, chacun à chacun, comme ayant leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens.
266. Théorème. — Deux prismes droits qui ont des bases égales et des hauteurs égales sont superposables.
En effet, si on transporte le second prisme sur le premier de manière à faire coïncider sa base avec celle du premier qui lui est égale, on constate facilement que les deux prismes coïncident.
Volume des prismes droits.
267. Définitions relatives aux volumes. — Mesurer un volume, c'est le comparer à un autre volume pris pour unité. On cherche, pour cela, combien de fois le volume à mesurer contient Funité ou une partie de l'unité divisée en parties égales.
On obtient ainsi un nombre qui exprime la mesure du volume.
On prend pour unité de volume le volume du cube construit sur Tunité de longueur ; de cette façon la mesure de certains volumes se ramène, ainsi qu'on va le voir, à la mesure de certaines longueurs.
Quand l'unité de longueur est le mètre, l'unité de volume s'appelle le mètre cube ; quand l'unité de longtïeur est Ip décimètre ou le centimètre, Tunité de volume est le décimètre cube ou le centimètre cube.
On sait d'ailleurs qu'une unité de volume vaut mille iinitt^ de l'ordre immédiatement inférieur. Par exemple : le ïrtètre cube vaut lOUO décimètres cubes; le décimètre cube vau 1000 centimètres cubes, etc.
On dit que deux solides sont équivalents quand ils ont li même volume sans être, pour cela, nécessairement super posables. Deux solides superposables sont nécessairement équivalents.
268. Théorème. — Le rapport des volu7n€$ de deujc parallélépipèdes rectangles qui ont des bases égales est égm au rapport des hauteurs.
LES POLYEDRES
lOo
Observons d'abord que deux parallélépipèdes rectangles qui ont des bases égales et des hauteurs égales sont superposables (266).
Gela posé, considérons deux parallélépipèdes rectangles de volumes P et P', de bases égales ABCD, A'B'C'D', et de hauteurs inégales AH et A'H'. Supposons que les hauteurs aient une commune mesure qui soit, par exemple, contenue 3 fois dans P» ^ — j___|^__j AH et 4 fois dans A'H', de sorte
que .,„, = --• Partageons AH AH 4
~B» et A'H' respectivement en 3 et
en 4 parties égales, puis menons des plans parallèles aux bases par les points de division. Nous partageons ainsi le premier parallélépipède en 3 parallélépipèdes égaux, et le second en 4. D'ailleurs, les parallélépip^es partiels du premier sont évidemment égaux aux parallélépipèdes partiels du second ; il en résulte qu'un même parallélépipède est contenu 3 fois dans P et 4 fois
dans P'. On a donc
et par suite
