P AH P' "" A'H

269. Remarque. — Dans un parallélépipède rectangle, toutes les arêtes sont deux à deux égales aux trois arêtes qui partent d'un même sommet. Les longueurs de ces trois arêtes s'appellent les dimensions du parallélépipède. L'une quelconque de ces dimensions peut être prise comme hauteur ; alors la base est le plan des deux autres dimensions. En vertu de ces définitions, le théorème précédent peut encore s'énoncer ainsi :

Le rapport des volumes de deux parallélépipèdes rectangles qui ont deux dimensions communes est égal au rapport des troisièmes dimensions.

270. Théorème. — Le rapport des volumes de deux parallélépipèdes rectangles qui ont la même hauteur est égal au rapport des bases.

i06 GÉOMÉTRIE

Soient P et P' les volumes de deux parallélépipèdes rectangles de même hauteur h, et dont les bases respectives sont B et B'. Appelons a, b les dimensions de la base du premier, a\ b' les dimensions de la base du second, puis imaginons que l'on ait construit un troisième parallélépipède rectangle P" ayant pour dimensions a, b' et h. En vertu de la remarque précédente on a

P b et p. = Y

On en déduit, en multipliant membre à membre,

P a b a b Mais on a vu (184) que

donc "F = ¥'

271. Théorème. — Le rapport des volumes de deux parallélépipèdes rectangles quelconques est égal au produit du rapport des bases par le rapport des hauteurs.

Soient, en effet, P et P' les volumes de deux parallélépipèdes rectangles de bases respectives B, B' et de hauteurs respectives h et h'. Comparons-les à un parallélépipède P" de base B et de hauteur h'. En vertu du théorème n» 270, on a F B^.

F ■" B' * en vertu du théorème n^ 268, on a aussi P fe P" " h' ' En multipliant ces deux égaUtés membre cà membre, il vient

272. Théorème. — Si Von prend pour unités d'aire et de volume le carré et le cube construits sur Vunité de longueur, le volume du parallélépipède rectangle a pour mesure le pro-