LES POLYÈDRES
duit du nombre gui mesure sa base par le nombre qui mesure sa hauteur.
En effet, supposons que dans Tégalité
P' ■" B' X k'' h\ B' et P' soient les unités respectives de longueur, de sur-
p face et de Tolume. Alors — est le nombre qui mesure le
volume du parallélépipède P, :^ le nombre qui mesure
B h sa base, et — le nombre qui mesure sa hîiuteur. La proposition résulte évidemment de là.
273. Remarque. — On a vu en géométrie plane que l'aire d'un rectangle est égale au produit de sa base par sa hauteur, c'est-à-dire au produit de ses deux dimensions. Il en résulte que le volume d*un parallélépipède rectangle est aussi égal au produit de ses trois dimensions.
274. Théorème. — • Le volume d'tm parallélépipède droit est égal au produit de sa base par sa hauteur.
On démontre cette proposition en prouvant qu'un parallélépipède droit est équivalent à un parallélépipède rectangle ayant une base équivalente à celle du parallélépipède droit et môme hauteur que oelui-ci.
Pour cela, sur la base ABCD du parallélépipède droit on construit un rectangle équivalent EFCD et, des points E, F ainsi obtenus, on mène les perpendiculaires EE', FF' aux bases jusqu'aux points de rencontre E' et F' avec la base supé- , rieure. On obtient ainsi un parallélé-
5! C pipède rectangle EFCDE'F'C'D' qui a,
avec le parallélépipède droit, une partie commune EBCBE'B'C'D'. Les parties non communes sont deux prismes triangulaires droits BFCB'F'C AEDA'E'D' superposables ; en effet, xi/ si on transporte le second prisme
sr
^ B F ^"^ ^® premier de manière à faire
coïncider les deux triangles égaux BFC, AED, les deux prismes coïncident.
Il suit de là que les deux parallélépipèdes sont équivalents.
Or, le parallélépipède rectangle a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur ; d'autre part, la base du parallélépipède rectangle est équivalente k celle du parallélépipède droit, et les hauteurs sont égales. Donc le volunae du parallélépipède droit est bien égal au produit de sa base par sa hauteur.
