NOMBRES PREMIERS
égal à 19. L'égalité précédente signifie alors que 439 est divisible par un nombre Q inférieur ou égal à 19 et est, par suite, divisible aussi par tout diviseur premier de Q. Mais les diviseurs premiers de Q sont tous inférieurs ou égaux à 19, et l'on a reconnu qu'aucun d'eux ne divise 439. 11 y a évidemment contradiction entre les deux résultats, et, par suite, 439 n'est divisible par aucun nombre premier supérieur à 23 ; donc 439 est un nombre premier.
Propriétés élémentaires des nombres premiers.
78. Théorème. — Tout nombre premier qui ne divise pas un nombre est premier avec lui.
En effet, les deux nombres n'ont d'autre diviseur commun que l'unité.
79. Théorème. — Tout nombre premier qui divise un produit de plusieurs facteurs divise au moins l'un des (acteurs de ce produit.
Supposons, par exemple, que 3 divise le produit A x B x C. S'il ne divise pas A, il est premier avec lui et, par suite, divise B X C (66). S'il ne divise pas B, il est premier avec lui et, par suite, divise C.
80. Corollaires. — 1" Si un nombre premier divise une puissance d'un nombre^ il divise ce nombre.
2° Si un nombre premier divise un produit de facteurs premiers, il est Vun des facteurs de ce produit.
81. Théorème. — Tout nombre qui n'est pas premier est un produit de facteurs premiers.
Soit A un nombre qui n'est pas premier, et soit a son plus petit diviseur qui est un nombre premier (74). Divisons A par a et soit q le quotient, de sorte que A = axq.
Si q est premier, le théorème est démontré. Si q n'est pas premier, en appelant b son plus petit diviseur qui est un nombre premier et q' le quotient de la division de q par 6, on a
q = bxq\ et, par suite, A = a x 6 X 9'.
Si q' est premier, le théorème est démontré. Si q' n'est pas premier, on peut recommencer le raisonnement fait sur q,
et ainsi de suite. Gomme les quotients successifs g, q\... vont en diminuant, on arrivera finalement à un nombre premier, et alors A sera mis sous la forme d'un produit de facteurs premiers. D'ailleurs, comme b n'est pas nécessairement distinct de a, le même facteur premier pourra figurer plusieurs fois dans le produit.
82. Définition. — Décomposer un nombre en facteurs premiers j c'est l'écrire sous la forme d'un produit de facteurs premiers.
83. Théorème. — Un nombre ne peut être décomposé que d'une seule manière en facteurs premiers.
Supposons qu'un nombre A puisse être décomposé de deux manières en facteurs premiers, et soient
de sorte que a X b X c = a' xb' X c' X d'. En vertu de cette égalité, le nombre premier a divise le produit de facteurs premiers a'Xb'xc' xd' ; donc a est égal à l'un des facteurs de ce produit (80, 2°). S'il est égal à a\ en divisant les deux produits par a, on a la nouvelle égalité
bxc = b'xc'xd'.
De cette égalité on déduit que b est égal à b\ puis que
c = c' X rf'. De cette nouvelle égalité on déduit c =: c\ et,
en divisant les deux nombres par c, que d' = 1. De sorte
que la deuxième décomposition est identique à la première.
84. Décomposition d'un nombre en facteurs premiers. — Comme le résultat est toujours le même quelle que soit la manière de procéder, on peut adopter la règle suivante :
On essaie la division du nombre considéré par les nombres premiers successifs 2, 3, 5, ... jusqu'à ce que Von en trouve un qui conduise à un reste nul. On essaie ensuite la dimsioji du quotient par les nombres premiers successifs, à partir de celui qui l'a fourni et y compris ce nombre j jusqu'à ce qu'on arrive à un autre reste nul. On continue ainsi jusqu'à ce qu'on arrive à un quotient qui soit un nombre premier .
On dispose l'opération comme dans l'exemple suivant :
