NOMBRES PREMIERS

Les diviseurs successifs sont écrits à droite, les quotients à gauche, et Ton a

360 =2X2X2X3X3X3, ce que Ton écrit

Applications de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers.

85. Théorème. — Pour qu'un nombre A soit divisible par un nombre B, il faut et il suffit quHl contienne tous les facteurs premiers de B avec des exposants au moins égaux à ceux qu'ils ont respectivement dans B.

!• C'est nécessaire, — Car si A est divisible par B, en faisant la division et en appelant Q le quotient, on a A = B x Q ; ce qui montre que A est le produit de tous les facteurs premiers de B par les facteurs premiers de Q.

2° (Test suffisant» — Car si A contient tous les facteurs premiers de B avec des exposants au moins égaux à ceux qu'ils ont respectivement dans B, en décomposant A en facteurs premiers et en groupant les facteurs premiers dont le produit constitue B , on peut écrire A sous la forme A = B X Q, en appelant Q le produit des autres facteurs qui entrent dans A. Sous cette forme, on voit que A est divisible par B.

Exemple :

Le nombre 2Sx33x 5*X7=* XU est divisible par 360, car 360 = 23x3^X3.

86. Plus grand commun diviseur de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers. — Le

plus grand commun diviseur de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers est égal au produit de tous les facteurs premiers communs, chacun de ces facteurs étant pris avec son exposant le plus faible.

Soient, par exemple, les trois nombres

C= 23x3*X5*xT^Xll.

Je dis que leur plus grand commun diviseur est D = 2»X3X5^ En effet : 1«> c'est un diviseur commun aux trois nombres, en vertu du théorème précédent; 2" c'est le diviseur commun le plus grand, car^ en vertu du même théorème, tout diviseur commun aux trois nombres A, B, C ne peut contenir d'autres facteurs premiers que 2, 3 et 5 : s'il renfermait, par exemple, le facteur 7, il ne diviserait pas B. En outre, il ne peut contenir 2 avec une puissance supérieure à 3 parce qu'il ne diviserait ni B ni C. On voit de même qu'il ne peut contenir ni 3 à une puissance supérieure à 1, ni 5 à une puissance supérieure à 2. Donc D est bien le plus grand commun diviseur cherché.

87. Plus petit multiple commun de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers. — Le

plus petit multiple commun de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers est égal au produit de tous les facteurs premiers différents, chacun d'eux étant pris avec son exposant le plus fort.

Par exemple, le plus petit multiple commun des trois nombres A, B, C écrits plus haut (86) est égal à 2*x3«x5^X72xll.

En raisonnant comme pour le plus grand commun diviseur, on voit en effet que ce nombre est divisible par chacun des nombres proposés, et qu'il est le plus petit nombre divisible par chacun d'eux.

Fractions ordinaires.

88. Définitions. — Quand on a une collection d'objets de même espèce, on appelle unité (2) l'un quelconque des objets de la collection. Si l'on a, par exemple, une collection de longueurs, toutes égales, l'unité c'est l'une quelconque de ces longueurs.

Supposons alors, pour fixer les idées, que l'unité soit une longueur AB, et imaginons que l'on ait partagé cette longueur en 2, 3, 4, 5, 6, ... parties égales. Chacune de ces

parties s'appelle un demi, quand on a partagé en 2 parties égales, un tiers, quand on a partagé en 3 parties égales, un quart, quand on a partagé en 4 parties égales, un cinquième, un sixième, etc., quand on a partagé en 5 parties égales, 6 parties égales, etc.

Si Ton prend un nombre quelconque de parties de l'unité partagée en parties égales, on a ce qu'on appelle une fraction. Ainsi, on appelle fraction une ou plusieurs parties de l'unité partagée en parties égales.

D'après cela, pour définir nettement une fraction, il faut indiquer en combien de parties égales l'unité a été partagée et combien l'on a pris de ces parties. Une fraction est donc déterminée par l'ensemble de deux nombres entiers dont l'un, le dénominateur, indique en combien de parties égales l'unité a été partagée, et l'autre, le numérateur, combien l'on a pris de ces parties. Le numérateur et le dénominateur s'appellent les deux termes de la fraction.

Pour énoncer une fraction, on énonce d'abord le numérateur, puis le dénominateur en le faisant suivre de la terminaison ième, s'il n'est pas l'un des nombres 2, 3, 4. On dira, par exemple, la fraction cinq septièmes, si l'on a pris 5 parties de l'unité divisée en 7 parties égales ; mais on dira la fraction cinq demis, cinq tiers ou cinq quarts, si l'on a pris 5 parties de l'unité partagée en 2, en 3 ou en 4 parties égales.

On représente une fraction en écrivant le dénominateur sous le numérateur, et en séparant ces deux nombres par un trait horizontal. Les fractions trois demis, cinq tiers, trois quarts, cinq huitièmes, par exemple, s'écriront donc : 3 5 3 5 "~ ' "q ' r* fi" ^iiditencorelesfractions3swr2,5swr3,etc.

Supposons que l'unité AB ait été partagée par exemple en 5 parties égales. Prenons ensuite

5 • ■ un nombre quelconque de ces

parties, 7 par exemple, et plaçons-les bout à bout. Nous obtenons ainsi une longueur CD

qui est une collection de

•j — • ■ — , . parties de l'unité, c'est-à-

^ dire une collection d'objets de même espèce, mais qui ne sont que des parties de l'unité. De même que la vue d'une collection d'unités a conduit à l'idée de nombre entier, de même ici, la vue de cette collection de parties égales de l'unité conduit à l'idée d'une

autre espèce de nombres qu'on appelle des nombres fractionnaires ou des fractions.

Dans l'exemple choisi, on a été conduit à la fraction — ;

mais on voit de plus que si Ton suppose que l'unité soit une longueur, à toute fraction il correspond une autre longueur. On conçoit, d'après cela, qu'il puisse y avoir des fractions égales et des fractions plus grandes ou plus petites que d'autres, de même qu'il y a des longueurs égales, et des longueurs plus grandes ou plus petites que d'autres.

89. Remarque. — Un nombre entier est une fraction qui a pour numérateur ce nombre et pour dénominateur !•

90. Théorème. — Une fraction est plus grande ou plus petite que l'unité suivant que son numérateur est plus grand ou plus petit que son dénominateur.

11 est évident que l'unité est égale à l'une quelconque des 2 3-4 fractions — •> — i -- •> . . . , c'est-à-dire à toute fraction dont 2 3 4

le numérateur est égal au dénominateur. Car, pour former une telle fraction, on prend autant de parties de l'unité qu'il y en a dans l'unité.

Cela posé, il est clair que la fraction -- » par exemple,

est inférieure à l'unité, puisque pour la former on a pris 4 cinquièmes de l'unité, alors qu'il faut 3 cinquièmes pour avoir l'unité.

On voit de même qu'une fraction telle que — » par

exemple, est supérieure à l'unité.

91. Théorème. — Quand on multiplie ou que l'on divise le numérateur d'une fraction par un nombre entier, la fraction est rendue ce nombre de fois plus grande ou plus petite.

Soit, par exemple, la fraction — • Si l'on multiple son nu-

mérateur par 3, on obtient la fraction ---• Je dis que cette

fraction -— est 3 fois plus grande que la fraction —• i ce 8 8

qui veut dire qu'il faut trois fractions égales à — pour avoir

la fraction -3- • En effet, dans les deux cas l'unité a été par-

tagée en huitièmes. On en a pris 5 pour former — > et on en

a pris 3 fois plus pour former — -. Autrement dit, pour

former -3- » on a pris 3 fois le nombre de huitièmes néces-

saires pour former — et, par suite, il faut 3 fractions égales à

•3- pour avoir la fraction -—•

Inversement, en divisant 15 par 3 on obtient la fraction

-r- » qui est 3 fois plus petite que —r- » parce que -— est

3 fois plus grande que — .

92. Théorème. — Quand on multiplie ou que Von divise le dénominateur d'une fraction par un nombre entier» la fraction est rendue ce nombre de fois plus petite ou plus

Supposons, d'abord, que l'on multiplie le dénominateur

par un nombre entier. Soit par exemple la fraction — > dont

on multiplie le dénominateur par 3, ce qui donne la fraction

- — Il s'agit de démontrer qu'il faut 3 fractions égales à —

pour avoir la fraction -r--

Pour cela, remarquons que si, après avoir partagé Tunité en 8 parties égales, on partage chacune de ces parties en 3 parties égales, on obtient en tout 24 parties égales, c'està-dire 24 vingt-quatrièmes ; de sorte qu'il faut 3 vingt- quatrièmes pour faire 1 huitième. Il en résulte que pour avoir 5 huitièmes, il faudra 5 fois 3 vingt-quatrièmes, c'est-à-dire 15 vingt-quatrièmes, c'est-à-dire enfin 3 fois 5 vingt-quatrièmes, puisque 15 est égal à 3 fois 5.

Si nous passons maintenant au cas de la division, il suffit de remarquer que si l'on divise par 3 le dénominateur de

^» on obtient la fraction — -» qui est 3 fois plus grande

que — î parce que celle-ci, d'après ce que l'on vient de voir,

est trois fois plus petite que celle-là.

03. Théorème. — Quand on multiplie ou que Von divise les deux termes d'une fraction par le même nombre entier, on obtient une fraction égale à la première.

Ainsi la fraction ou —- est égale à la fraction -- •

En effet, — - est trois fois plus petite que — - — (91). De même

p est trois fois plus petite que — - — (93). Donc les deux

5 5x3 fractions ~ et sont égales, comme étant chacune 3 fois

5x3 plus petite que — ^— •

Le cas de la division se déduit de celui de la multiplication,

puisque l'on passe de à -- en divisant par 3 les deux

termes de la première de ces deux fractions.

04. Remarque. — Quand il est question de diviser par un nombre entier, dans les trois propositions que Ton vient de démontrer, on suppose, bien entendu, que les divisions indiquées se font sans reste.

05. Simplification des fractions. — Simplifier une fraction, c'est trouver une fraction qui lui soit égale et dont les deux termes soient respectivement moindres que ceux de la première.

Lorsque les deux termes d'une fraction sont divisibles par le même nombre, on simplifie évidemment la frfiction en divisant les deux termes par ce nombre (93). D'après cela, on pourra simplifier une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leurs diviseurs communs, ou encore en supprimant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur à mesure qu'on les aperçoit ; car, pour diviser un produit de facteurs par un facteur de ce produit, il sufût da supprimer ce facteur dans le produit (41).

En particulier, si les deux termes sont décomposés en facteurs premiers, il suffit de supprimer les facteurs premiers communs.

96. Fractions irréductibles. — On dit qu'une fraction est irréductible quand ses deux termes sont premiers entre eux.

Le théorème suivant prouve qu'une fraction irréductible ne peut pas être simplifiée et justifie la dénomination adoptée.

97. Tliéorème. ■— Toute fraction égale à une fraction irréductible a ses deux termes équimultiples de ceux de la fraction irréductible.

Quand on multiplie plusieurs nombres, 3, 4, 5, par exemple, par le même nombre, les nouveaux nombres sont dits équimultiples des premiers. Ainsi , 3x7, 4x7, 5x7 sont équimultiples de 3^ 4, 5.

a Cela posé, considérons une fraction — égale à une fraction

irréductible -—• On aura aussi

a bxb axS

b Sxh bxS

5x6 ax8

Mais les deux fractions égales, r et r ? ont le même

dénominateur ; donc elles ne peuvent être égales que si les numérateurs sont égaux, c'est-à-dire que si l'on a ax8 = 5x6.

En vertu de cette égalité, on peut dire que le nombre ax8 est un multiple de 5 ou que 5 divise ax8. Or, 5 est premier avec 8, donc il divise a (66). En appelant q le quotient de cette division, on a

a = 5 X g, et l'égalité a X 8 =5x6 peut s'écrire 5xgx8=5x6.

Divisons les deux membres de cette égalité par 5, ce qui se fait en supprimant le facteur 5 dans chacun des produits (41), et nous aurons

6 = gx8 ou 8xç.

Ainsi, a et 6 sont .égaux respectivement à 5 et à 8 multipliés par le même nombre q : ce sont des équimultiples de 5 et de 8.

98. Corollaire I. — Toute fraction égale à une fraction irréductible a ses termes moins simples^ c'est-à-dire respectivement plus grands que ceux de la fraction irrédu4itible.

En d'autres termes, une fraction irréductible ne peut pas être simplifiée ou, comme Ton dit, est réduite à sa plus simple expression.

99. Corollaire II. — Pour réduire une fraction à sa plus simple expression, il suffit de diviser ses deux termes par leur plus grand commun diviseur.

Car, en faisant ces divisions, les deux termes de la nouvelle fraction sont premiers entre eux (65).

Réduction des fractions au même dénominateur.

100. Définition. — Réduire plusieurs fractions au même dénominateur, c'est trouver des fractions qui leur soient respectivement égales et qui aient le même dénominateur.

On peut toujours supposer que les fractions données soient irréductibles. Alors, en vertu du théorème précédent (97), le dénominateur commun sera un multiple commun des dénominateurs.

Réciproquement, si Von a un multiple commun des dénominateurs, on peut trouver des fractions respectivement égales aux fractions proposées et ayant pour dénominateur commun le multiple commun considéré.

Prenons par exemple les fractions —^ —7 --•

On reconnaît facilement que 462 est un multiple comtnun des dénominateurs. Divisons alors 462 par 2, par 3, par 7, et soient 231, 154, 66 les quotients respectifs obtenus, de sorte que Ton a

11 est clair alors que si Ton multiplie les deux termes de la première fraction par 231, les deux termes de la deuxième par 154 et les deux termes de la troisième par 66, on obtient les fractions

qui sont respectivement égales aux fractions proposées et qui ont le môme dénominateur, 462t.

D'après cela, on voit qu'il y a une infinité de manières de réduire plusieurs fractions données au même dénominateur. En particulier, si l'on multiplie entre eux tous les dénominateurs des fractions données on a évidemment un multiple commun des dénominateurs, et on peut faire la réduction de manière à obtenir des fractions ayant pour dénominateur le produit des dénominateurs. On constate facilement que Ton peut, pour cela, adopter les règles suivantes :

I. — Pour réduire deux fractions au même dénominateur, on multiplie les deux termes de chacune d*elles par le dénominateur de l'autre,

II. — Pour réduire plusieurs fractions au même dénominateur, on multiplie les deux termes de chacune d'elles par le produit des dénominateurs de toutes les autres.

101. Réduction au plus petit dénominateur commun. — Mais en procédant ainsi on n'est pas certain d'avoir fait la réduction de la manière la plus simple, et l'on peut se proposer de faire la réduction de manière à obtenir comme dénominateur commun le plus petit nombre possible.

On dit alors que les fractions sont réduites à leur plus petit dénominateur commun.

Si l'on reprend le raisonnement du numéro précédent, on voit que le plus petit dénominateur commun est égal au plus petit multiple commun des dénominateurs des fractions supposées irréductibles j et l'on est conduit à la règle suivante :

Pour réduire plusieurs fractions au plus petit dénominateur commun, on les réduit d'abord à leur plus simple expression, puis on cherche le plus petit multiple commun des dénominateîirs des nouvelles fractions. On divise ce plus petit multiple commun par chaque dénominateur, on multiplie le numérateur de chaque fraction par le quotient correspondant, et l'on a ainsi les numérateurs des nouvelles fractions ; quant aux dénominateurs, ils sont égaux au plus petit multiple commun trouvé plus haut.

Soit, par exemple, à réduire au plus petit dénominateur commun les fractions irréductibles

JL ii il

MANUEL DE RHÊT. 4

On a :

Le plus))etit multiple commun des dénominateurs est donc 2> X 3» X 5 = 360 ; d'ailleurs les quotients de 360 par les dénominateurs respectifs sont

3X5, 2x3 et 2«x5.

Les fractions réduites au plus petit dénominateur commun seront donc

7X3X5 13x2x3 nx2«x5

102. Théorème. — Lorsque deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

7 5 7 Ainsi — est plus grande que —, parce que pour avoir —

on a pris 7 parties de l'unité divisée en 8 parties égales, tandis qu'on n'en a pris que 5 pour avoir -- •

103. Comparaison des fractions. — D'après cela pour comparer des fractions on les réduira au même dénominateur, et Ton comparera ensuite les numérateurs.

Opérations sur les fractions.

Addition.

104. Définitions. — Additionner plusieurs nombres entiers ou fractionnaires, c'est trouver un nombre entier ou fractionnaire qui soit composé avec toutes les unités et fractions d'unités qui composent les nombres donnés. L'opération à l'aide de laquelle on trouve ce nombre s^appelle V addition, et le résultat de l'addition, c'est-à-dire le nombre cherché, s'appelle la somme des nombres donnés.

Cette définition de l'addition n'est donc, comme on le Toit que l'extension de la définition de l'addition des nombi entiers.

106. Théorôme. — La somme de plusieurs nombres fractionnaires ayant le même dénominateur est une fraction qui a le même dénominateur , et dont le numérateur est égal à la somme des numérateurs des fractions données.

Soit, par exemple, à ajouter les fractions

i. i i 5 ' 5 ' 5* Par définition, la somme doit contenir les 2 cinquièmes, plus les 4 cinquièmes, plus les 6 cinquièmes de Tunité. Elle doit donc contenir 2 -^ 4 -h 6 cinquièmes de l'unité, et

2 -f-4 -4- 6 elle est, par suite, égale h la fraction ^ ' obtenue

d'après la règle énoncée.

On indique ce résultat en écrivant l'égalité

1 il— 2-t-44-6

106. Remarque. — Lorsque plusieurs nombres entiers ou fractionnaires n'ont pas le même dénominateur, on obtient leur somme en les réduisant d'abord au même dénominateur, et en appliquant ensuite le théorème précédent.

D'ailleurs, pour faire la somme des numérateurs, on peut changer à volonté l'ordre des termes, ainsi qu'on l'a vu dans la théorie de l'addition des nombres entiers.

Soustraction.

107. Définitions. — Lorsque deux nombres sont entiers, soustraire le plus petit du plus grand, c'est trouver un nombre qui, ajouté au plus petit, reproduise le plus grand.

De même soustraire un nombre entier ou fractionnaire d'un autre nombre entier ou fractionnaire plus grand que lui, c'est trouver un troisième nombre qui, ajouté au plus petit, reproduise le plus grand. L'opération qui permet de trouver ce nombre s'appelle la soustraction, et le résultat s'appelle la différence des deux nombres donnés.

108. Tliéorème. — Lorsque deux nombres fractionnaires ont le même dénominateur ^ leur différence est une fraction gui a le même dénominateur, et dont le numérateur est égal à la différence des numérateurs.

Il s'agit, par exemple, de prouver que la différence entre

~ et ^ est égale a — r — > cest-a-dire à •=-• En

4 3 effet, 3 étant la différence entre 7 et 4, la somme -^ -^ t

est égale à ^r' d'après ce que Ton a montré plus haut (105);

7 — 4 donc, la différence cherchée est bien — p — •

On exprime ce résultat en écrivant l'égalité

109. Remarque. — Pour retrancher deux nombres entiers ou fractionnaires quelconques, on commence par les réduire au même dénominateur, et on applique ensuite le théorème précédent.

Multiplication.

110. Définitions. — Lorsque le multiplicateur est un nombre entier, multiplier c'est répéter le multiplicande autant de fois qu'il y .a d'unités dans le multiplicateur : c'est, si l'on veut, ajouter autant de fractions égales au multiplicande qu'il y a d'unités dans le multiplicateur, opération que l'on sait faire (105).

Cette définition n'a plus de sens quand le multiplicateur

est fractionnaire. Pour définir la multiplication dans ce cas,

on observe d'abord, et cela a été démontré (92), que si l'on

multiplie le dénominateur d'une fraction par un nombre,

dénominateur qui peut être égal à 1 si la fraction est lin

entier, on rend la fraction ce nombre de fois plus petite. Par

exemple, si l'on multiplie par 5 le dénominateur de la frac-

tien Y» on obtient la fraction — » qui est 5 fois plus

petite que 7 : on dit alors que l'on a pris la cinquième partie de 7.

Cela posé, multiplier un nombre entier ou fractionnaire par — par€xemple, c'est répéter 3 fois la cinquième partie du multiplicande. On définit d'une manière analogue la multiplication pour un autre multipUcateur quelconque. Le résultat de l'opération s'appelle encore produit.

111. Théorème. — Le produit (Vune fraction par un nombre entier est une fraction qu'on déduit de la fraction considérée en multipliant son numérateur par l'entier et en conservant le dénominateur.

Soit, par exemple, à multiplier v- par 3. Par définition,

on a

112. Théorème. — Le produit de deux nombres entiers ou fractionnaires est un nombre entier ou fractionnaire qtti a pour numérateur le produit des numérateurs et pour dénominateur le produit des dénominateurs.

Soit, par exemple, à multiplier -j par y • Par déflni-

tion, il faut répéter 5 fois la septième partie de -j î mais

la septième partie de j- est , , et, si on la répèle

3x5 5 fois, on obtient , 1 (111).

113. Remarque.— On définit le produit de plusieurs facteurs entiers ou fractionnaires, donnés dans un ordre déterminé, comme dans la multiplication des nombres entiers (17). En vertu du théorème précédent, ce produit aura pour numérateur le produit des numérateurs pris dans l'ordre donné, et pour dénominateur le produit des dénominateurs, pris également dans Tordre donné. Comme ces nouveaux produits sont des produits de nombres entiers, on peut intervertir à volonté Tordre des facteurs ; donc on ne change pas un produit de facteurs entiers ou fractionnaires, en intervertissant à volonté l'ordre des facteurs,

114. Corollaire. — Pour élever une fraction à une puissance, on élève chaque terme à cette puissance.

Ainsi, \~y) "^"8^' car on a

Division.

115. Définition. •— On appelle quotient exact de deux nombres entiers ou fractionnaires, appelés respectivement dividende et diviseur, un nombre entier ou fractionnaire dont le produit par le diviseur soit égal au dividende.

116. Théorème.— Le quotient de deux nombres entiers ou fractionnaires s'obtient en multipliant le dividende par le diviseur renversé,

Par exemple, le quotient de -^ P^^ T" ®^* ^^^^ ^ 3 8 3 8,,,, 3x8

-T-X-=-- En eflfet, la fraction 'Y^~ est égale a YxT '

3 X 8 X 7 et si on la multiplie par le diviseur, on obtient 5x7x8 *

Or, si Ton simplifie cette fraction, on voit qu'elle est égale

à -r-» c'est-à-dire au dividende.

117. Remarque. — Une fraction ordinaire exprime le quotient exact de la division de son numérateur par son

dénominateur, En eflfet, — par exemple est le quotient exact de la di-

3 , 3X4 vision de 3 par 4, car -^ X 4 = — ^ — = à.

Fractions décimales.

118. Définition. — On appelle fractions décimales les fractions qui ont pour dénominateur une puissance de 10. Les puissances de 10 sont : 10, 100, 1000, etc. L'avantage de la considération de telles fractions résulte de ce qu'on peut les écrire sous une forme qui rappelle celle des nombres entiers, et grâce à laquelle les calculs relatifs à ces fractions se ramènent à des calculs sur les nombres entiers.

Considérons en effet, d'abord, une fraction décimale dont le numérateur renferme plus de chiffres que le dénominateur; soit, par exemple, la fraction 32827