LES POLYÈDRES

Aire A'B'C'D'E' SH^

Aire ABCDE

283. Corollaire I. — Les bases d*un tronc de pyramide à bases parallèles sont des polygones semblables,

284. Corollaire II. — Lorsque deiix pyramides ont des hauteurs égales et des bases équivalenteSy des sections parallèles aux bases faites dans les deux pyramides par des plans menés à égale distance des sommets sont équivalentes.

Volume de la pyramide et du tronc de pyramide.

285. Théorème. — Deux pyramides triangulaires qui ont des bases équivalentes et des hauteurs égales sont équivalentes.

Soient SABG, S'A'B'C les deux pyramides considérées. Partageons les hauteurs en un même nombre de parties égales et, par les points de division, menons des plans parallèles aux bases ; les sections faites ainsi dans les deux pyramides par les plans équidistants des sommets sont des triangles

équivalents (284). Sur ces triangles construisons des prismes xiyant leurs arêtes respectivement parallèles à SA et à S'A'; les ^4>ngueurs des arêtes de ces prismes sont alors égales (282, 1») ^t ily a autant de prismes dans la première pyramide que dans f .^ deuxième. D'ailleurs, les prismes de la première pyramide, f^ umérotés à partir du sommet S, sont respectivement équiva-

ti4 GÉOMÉTRIE

lents aux prismes de la deuxième, numérotés à partir du sommet S'. On appelle ces prismes des prismes inscrits dans les deux pyramides, et il est clair, en vertu de ce que nous venons de dire, que la somme des volumes des prismes inscrits dans la première pyramide est égale à la somme des volumes des prismes inscrits dan:^ la deuxième. On en déduit facilement que si le nombre des divisions de la hauteur, c'est-à-dire si le nombre des prismes croît indéfiniment, la somme des volumes des prismes inscrits dans chaque pyramide a pour limite le volume de la pyramide correspondante.

£n effet, si nous prenons , par exemple, la première pyramide, la différence entre son volume et la somme des volumes des prismes inscrits est inférieure au volume du tronc de pyramide SBCTML. Or, quand le nombre des divisions augmente indéfiniment, le point T se rapproche indéfiniment du point S, et le volume du tronc de pyramide SBCTML tend vers zéro. Cela signifie, par définition, que la somme des volumes des prismes inscrits dans la pyramide S a pour limite le volume de cette pyramide.

Cela posé, la somme des volumes des prismes inscrits dans la première pyramide étant toujours égale à la somme des volumes des prismes correspondants inscrits dans la deuxième pyramide, quel que soit le nombre des divisions de la hauteur, la limite de la première somme est égale à la limite de la deuxième ; donc les deux pyramides sont équivalentes.

286. Théorème. — Le volume d'une pyramide triangulaire est égal au tiers du produit de sa base par sa hauteur. Considérons en effet une pyramide triangulaire SABC et, par les points À et C de la base , menons les parallèles à l'arête SA ; soient D et E les points de

D E rencontre de ces parallèles avec le plan

,^^ ^^^J mené par S parallèlement au plan ABC. / V\,^'^ / Si nous menons SD et SE, nous for-

/ )h^ I nions un prisme triangulaire ABCDSE

/ / /\\ / qui a même base et même hauteur que

I / l\ I la pyramide. Le volume de ce prisme

// / \^/ étant égal au produit de sa base par s*

^/...../....^ç hauteur, si nous prouvons que le vc

\^ y^ lume de la pyramide est le tiers de celi

^^ du prisme, le théorème sera démontn

Or, si du prisme nous détachons pyramide SABC, il reste une pyramide quadrangulaire SACI

LEa POLYEDRES

composée de deux pyramides triangulaires SACD, SDEC qui sont équivalentes comme ayant des bases égales ACD et CDE, et des hauteurs égales. D'ailleurs la pyramide SCOE peut être considérée comme ayant pour sommet le point C et pour base DSE; mais alors elle est équivalente à la pyramide SABC (285), de sorte que le prisme se compose de trois pyramides équivalentes à la pyramide SABC. Cela revient évidemment à dire que le volume de cette pyramide est le tiers du volume du prisme ABCDSE, ce qui démontre la proposition. 287. Théorème. — Le volume d'une pyramide quelconque est égal au tiers du produit de sa base par sa hauteur.

Décomposons en effet la pyramide considérée SABCDË en pyramides triangulaires, SABC, SACD, etc. Toutes ces pyramides ayant même hauteur SH, si Ton appelle V le volume de la pyramide considérée, on a successivement

V=ABCx4 SH-h ACDx^ SH

-+-ADEX-^SH»

-ADEjx^SH, o

V = (ABC-f-ACDH ,, ABCDE X SH

288. Théorème. — Un tronc de pyramide à hases parailèles est équivalent à la somme de trois pyramides ayant pour hauteurs la hauteur du tronc et pour bases, la première la base inférieure du tronc, la seconde la base supérieure, et la troisième une moyenne proportionnelle entre ces deux bases.

lo Considérons d'abord un tronc de pyramide à bases triangulaires ABC, DEF. Si, de ce tronc de pyramide, on détache la pyramide DCAB, en menant le plan DCB, on a la première pyramide de l'énoncé, et il reste une pyramide quadrangulaire de sommet D et de base BCEF. Le plan BDF partage cette pyramide en deux pyramides triangulaires de sommet D et

de bases respectives BEF, BCF. La première de ces pyramides pouvant être considérée comme, ayant pour sommet B et pour base DEF est la deuxième pyramide de renoncé. Il reste donc h prouver que la pyramide DBCF est la troisième.

Pour cela, menons DG parallèle à CF et observons que tous les points de DG étant équidistants du plan BCF, la pyramide DBCF est équivalente à celle qui aurait pour sommet G et pour base le triangle BCf (285). Mais cette dernière pyramide peut être considérée comme ayant pour sommet le point F et pour -base le triangle BCG ; si Ton observe alors que sa hauteur est égale à celle du tronc de pyramide, le théorème sera démontré si Ton prouve que Faire du triangle BGG est moyenne proportionnelle entre les aires des deux triangles ABC, DEF. D'ailleurs, si Ton mène GH parallèle à AB, les deux triangles GGH et DEF sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux, chacun à chacun^ savoir :

CG = DF comme parallèles comprises entre parallèles ; angle GGH = angle DFE comme ayant les côtés parallèles et dirigés dans le même sens ; angle GGH = angle FDE pour la même raison.

Il suffit donc de prouver que Taire du triangle BCG est moyenne proportionnelle entre les aires des deux triangles ABG et GGH.

Or, les deux triangles ABC, BCG peuvent être considérés comme ayant pour hauteur la perpendiculaire menée do point B sur AC ; le rapport de leurs surfaces est alors égal au rapport des bases, et Ton a

ABC CA BCG "" CG' Pour une raison analogue, on a

BCG CB CGH " CH* Les seconds membres de cqs égalités étant égaux à cause du parallélisme de AB et de GH, les premiers le sont aussi, et l'on a

ABC BCG

BCG ^ CGH ' ce qui démontre la proposition pour le tronc de pyramide à bases triangulaires.

2o Considérons maintenant un tronc de pyramide à bases parallèles mais quelconques. Ce tronc de pyramide

ABCDEA'B'C'D'E' peut être considéré comme la différence des deux pyramides

SABCDE, SA'B'C'D'E'.

Construisons un triangle FGH équivalent au polygone ABCDE (194) et prenons ce triangle comme base d'une pyramide TFGH de même hauteur que la pyramide SABCDE.

Les deux pyramides SABCDE, TFGH ayant des mesures égales sont équivalentes. Coupons la seconde de ces pyramides par le plan F'G'H' dont la distance au point T est égale à la distance du plan A'B'C'D'E' au point S ; alors le triangle F'G'H' est équivalent au polygone A'B'C'D'E' (284), de sorte que les deux pyramides SA'B'C'D'E', TF'G'H' sont aussi équivalentes. 11 en résulte que les deux troncs de pyramide ABCDEA'B'C'D'E' et FGHF'G'H' sont eux-mêmes équivalents. Le théorème ayant été démontré pour le tronc de pyramide FGHF'G'H' fà bases triangulaires s'étend alors au tronc de pyramide à bases polygonales.

289. Remarque. — Il suit de là que si l'on appelle V le volume d'un tronc de pyramide dont les bases sont B et 6 et la hauteur A, on a

Cylindre.

290. Définitions. — On appelle cylindre circulaire droit le volume engendré par un rectangle OAO'A' tournant autour

MAN. DE RHÉT.

de l'un de ses côtés 00' appelé axe du cylindre. Dans ce mouvement la droite AA', appelée arête ou génératrice^ engendre une surface appelée la surfa^ce latérale du cylindre ; les côtés OA et O'A' engendrent deux cercles égaux situés dans les plans perpendiculaires à Taxe et menés respectivement par O' et par 0' : on les appelle les • bases du cylindre.

On appelle hauteur du cylindre la distance des deux bases ; enfin, on appelle rayon du cylindre le rayon de l'une quelconque des bases.

La hauteur du cylindre est évidemment égale à la longueur de Taxe ou à celle de la génératrice ; quant au rayon, il est égal à celui du cercle qu'on obtiendrait en coupant le cylindre par un plan quelconque parallèle aux bases.

On appelle aire latérale et volume d'un cylindre circulaire droit les limites respectives vers lesquelles tendent Taire latérale et le volume d'un prisme régulier, dont les bases sont des polygones réguliers inscrits dans les polygones de base, quand le nombre des côtés de ces polygones augmente indéfiniment, de manière que chaque côté tende vers zéro.

291. Théorème. — L'aire latérale d'un cylindre circulaire droit est égale au produit de la circonférence de base par la hauteur du cylindre.

Dans le cylindre inscrivons en effet un prisme régulier ABCDEA'B'C'D'E'. L'aire latérale de ce prisme est la somme des aires de plusieurs . , rectangles ayant même hauteur que le 5 ^ cylindre et dont les bases respectives sont les côtés du polygone ABCDE ; il en résulte que cette aire latérale est égale au produit du périmètre de la base par la hauteur du cylindre.

Mais, si l'on fait croître indéûmment le nombre des côtés du polygone ABCDE, le périmètre de ce polygone a pour limite la longueur de la circonférence de base (175); comme Taire latérale du prisme a pour limite l'aire latérale du cylindre, le théorème est démontré. D'après cela, si l'on appelle S l'aire latérale d'un, cylindre

LES CORPS RONDS li9

de rayon R et de hauteur H, on a S = 2itRH.

292. Aire totale — C'est la somme de Taire latérale et des aires des deux bases ; elle a pour expression

2irR* -+- 2icRH = 2TrR(H -h R).

293. Théorème. — Le volume d'un cylindre est égal au produit de sa base par sa hauteur.

On inscrit encore un prisme régulier et on raisonne absolument comme pour le théorème précédent.

Si donc V désigne le Tolume d'un cylindre de rayon R et de hauteur H, on a

V = ttR'H.

Cône et tronc de cône.

294. Définitions.— On appelle cône circulaire droit le Tolume engendré par un triangle rectangle SOA tournant

autour d'un côté de l'angle droit SO. Dans

y^ ce mouvement , la droite s A , appelée

/|\ arête ou génératrice, engendre la surface

n/»p\m iO'^érale du cône, et le côté OA, appelé

Az^;^\^^ rayon du cône, engendre un cercle qu'on

/.• • i" •■••\ appelle la hase de ce cône. Ajoutons que SO

/■* I '\ s'appelle encore la hauteur du cône.

r" Q J^ Si, d'un point M de la génératrice, on

^" — I ^ mène la perpendiculaire MP à l'axe, cette

droite engendre un cercle de centre P, de rayon PM et dont le plan est perpendiculaire à l'axe. Il suit alors de là et de la similitude des deux triangles SPM, SOA : 1° que les sections faites dans un cône circulaire droit par des plans perpendiculaires à Vaxe sont des cercles ayant leurs centres sur Vaxe ; 2^ que les rayons de ces cercles sont proportionnels aux distances des sections aux sommets.

On appelle tronc de cône circulaire droit la portion du volume d'un cône circulaire droit comprise entre la base et un plan parallèle à cette base. Tel est le solide ABMN. Les cercles AB et MN sont les bases du tronc de cône ; PO en est la hauteur et AM Varête ou la génératrice.

On peut considérer ce tronc de cône comme engendré par le trapèze birectangle OAMP tournant autour de OP.

On appelle aire latérale et volume d'un cône les limites respectives vers lesquelles tendent Taire latérale et le volume

d'une pyramide régulière ayant même sommet que le cône et pour base un polygone régulier inscrit dans la base du cône, quand le nombre des côtés de ce polygone augmente indéfiniment de manière que chaque côté tende vers zéro.

296. Théorème. — Vaire latérale d'un cône est égale à la circonférence de base multipliée par la moitié de l'arête.

Inscrivons en effet dans le cône une pyramide régulière SABCDEF. L'aire latérale de cette pyramide est la somme des aires des triangles isocèles SAB, SBC, etc., qui sont tous égaux et ont, par conséquent, même hauteur SH. L'aire latérale de la pyramide est donc égale à