I I \ SA' SA

/ ! \ d'où l'on déduit le rapport égal -^ — ^7-

/^-r^ AA'

il s'ensuit

^^^ZZ~Q~Z^^ CA' R'XAA' ,^ RXAA'

SA=-j^— ^, SA=^^— j^.

En remplaçant SA et SA' par ces valeurs dans l'expression de l'aire latérale, on obtient

^ , , . 2i:R -h 2TtR' . . , ^ , , .^ , .

ce qui peut s'écrire x AA , et alors le théorème

est évident.

Ainsi, si l'on appelle / la longueur de l'arête d'un tronc de cône dont les rayons des bases sont R et R', l'aire latérale de ce tronc de cône a pour expression

ir(R-i-R')/.

207. Remarque. — Par le milieu C de l'arête AA' (même figure) menons le plan parallèle aux bases. Nous obtenons ainsi un cercle dont le rayon wG est égal à la demisomme des rayons OA et O'A', parce que wC joint les milieux des côtés non parallèles d'un trapèze. Il en résulte que la longueur de la circonférence wC est égale à

„ OA -f- O'A' ,^ ^,,

2Tr ^ = ir(R-+-R');

donc Y aire latérale d'un tronc de cône est égale à la circonférence équidistante des bases multipliée par la longueur de i^arête,

298. Aire totale. — On appelle aire totale d'un cône la «somme de l'aire latérale et de Taire de la base. On définit ci 'une manière analogue Faire totale d'un tronc de cône.

En conservant les notations des numéros précédents, l'expression de l'aire totale du cône est

içm-h-rtR* = T:R(i-hR) ; de même Texpression de Taire totale du tronc de cône est i:/(R-hR')-hit(R2-f-R'«).

299. Théorème. ■— Le volume d'un cône est égal au tiers du produit de sa base par sa hauteur.

On inscrit dans le cône une pyramide régulière, comme au numéro 295, et on fait croître indéfiniment le nombre des côtés du polygone de base. Le volume de la pyramide étant égal au tiers du produit de la base par la hauteur, on en conclut le théorème énoncé à l'aide d'un raisonnement analogue à celui que nous avons fait pour le cylindre (295).

D'après cela, si H est la hauteur d'un cône de rayon R, l'expression du volume de ce cône est

300. Théorème. — Le volume d*un tronc de cône à bases parallèles est égal à la somme des volumes de trois cônes qui ont pour hauteur commune la hauteur du tronc et pour bases, le premier la base inférieure, le second la base supérieurer le troisième une moyenne proportionnelle entre les deux bases.

Considérons en effet le volume du tronc de cône ADA'D' ct)mmela différence des volumes des deux cônes SAD, SA'D'. Si l'on inscrit la pyramide régulière SABC... dans. le premier cône, les arêtes de cette pyramide rencontrent la base supérieure du tronc de cône aux points A', B', C, . . . , de sorte que SA'B'C. .. est une pyramide régulière inscrite dans le second cône.

Or, le volume de chaque cône est, par définition, la limite du volume de la pyramide inscrite correspondante ; donc le volume du tronc de cône, qui est la différence des volumes des deux cônes, pourra être considéré comme la limite de \îk.

différence des volumes des deux

pyramides SABC . . . , SA'B'C

c'est-à-dire comme la limite d.u volume du tronc de pyramide ABC . . . , A'B'C',. . . On. acYiève alors le raisonnement comme pour le cylindre.

D'après cela, si R et K sont les rayons de base d'un tronc de cône de hauteur H, l'expression du volume de ce tronc de cône est

i-icH(R«H-R'«-hRR').

Généralités sur la sphère.

901. Définitions. — On appelle sphère la surface lieu des points à égale distance d'un point ûxe appelé centre. La distance de tous les points au centre s'appelle le rayon de la sphère, et* on appelle diamètre une ligne qui passe par le centre et qui est limitée à la surface.

On peut considérer une sphère comme la surface engendrée par une demi-circonférence AMB tournant autour de son diamètre AB; car, dans ce mouvement, tous les points de la demi-circonférence restent à une distance du centre égale au nayon.