RACINE CARRÉE

Par exemple (3 H- 5)« = 3« -K 2 x 3 x 5 -+- 5«. En effet , (3 + 5)* est le produit de deux facteurs égaux à 3 h- 5. Or, on a vu (28) que

{3H-5)X(3-+-5) = 3x3-l-5x3-h3x5-h5x5. Mais on peut remplacer 3x3 par 3^^, 5 x 3 -h 3 x 5 par 2x3x5, et enfin 5x5 par 5*. On a alors (3 H- 5)* = 32 4- 2 X 3 X 5 -+- 5^ On raisonne d'une manière analogue dans tous les cas.

133. Théorème II. — Lorsqu'un nombre est plus grand que 100, on obtient les dizaines de sa racine carrée à moins d'une unité f en extrayant la racine carrée à moins d'une unité des centaines de ce nombre.

Puisque le carré de 10 est égal h 100, il est clair que la racine carrée d'un nombre plus grand que 100 est au moins égale à 10, et, par conséquent, renferme des dizaines.

Cela posé, prenons par exemple le nombre 578421. On constate facilement que la racine carrée à moins d'une unité du nombre 5784, qui représente les centaines du nombre proposé, est 76. Le théorème énoncé signifie alors, sur l'exemple choisi, que la racine carrée de 578421 à moins d'une unité contient bien 76 dizaines, mais n'en contient pas 77. En d'autres termes, cela signifie que le carré de 760 est bien contenu dans 578421, mais que le carré de 770 n'y est pas contenu.

En effet, puisque 76 est la racine carrée de 5784 à moins d'une unité, cela signifie, par définition, que 5784 contient bien le carré de 76 mais ne contient pas le carré de 77. On peut donc écrire les inégalités

76» ^ 5784 < IV, En multipliant tout par 100, c'est-à-dire par 10*, et en observant (31) que 76*xl0«=:760«, et que 77*xl02=770', des inégalités précédentes on déduit les suivantes : 760* ^ 578400 < 770*.

En vertu de ces nouvelles inégalités, on a certainement 760* ^ 578421. D'autre part, les deux nombres 578400 et 770* étant terminés par deux zéros se composent de centaines ; de sorte que pour passer du premier au second il faut lui ajouter au moins 100. Par conséquent, si on ne lui ajoute que 21, on obtiendra un résultat plus petit que 770». II suit de là qu'on peut certainement affirmer que l'on a 760» Z, 578421 < 770».

D'où il résulte que le carré de 760 est bien contenu dans 578421, mais que le carré de 770 n'y est pas contenu.

Ce théorème étant démontré, proposons-nous alors de résoudre le problème suivant :

134. Problème. — Connaissant les dizaines de la racine carrée d'un nombre entier à moins d'une unité, trouver les unités de cette racine.

Soit, par exemple, à extraire la racine carrée à moins d'une unité du nombre 587462. On constate sans difficulté que la racine carrée de 5874 à moins d'une unité est 76, de sorte que, d'après le théorème précédent, il y a 76 dizaines dans la racine carrée de 587462 à moins d'une unité. Si donc on appelle x le chiffre inconnu des unités, la racine carrée cherchée est 760 -+- x. Le carré de cette racine est donc (132) 760* -4- 2 X 760 X ar -h 0?^ Ce carré devant être contenu dans le nombre proposé, on pourra retrancher successivement chacune de ses parties de ce nombre. Si alors on retranche d'abord 760*, le reste obtenu devra contenir les deux autres parties, savoir : 2 x 760 x a? et x^. D'ailleurs pour retrancher 760*, nombre terminé par deux zéros, on observe qu'il suffit de retrancher 76* de 5874 et d'écrire 62 à droite du reste.

On obtient ainsi le nombre 9862, qui doit contenir 2 X 760 X a? et a?*, d'après le raisonnement que Ton ^ent de faire. Mais le produit 2 x 760 x x étant terminé par un zéro, est un nombre exact de dizaines ; donc il doit être contenu dans les 986 dizaines du nombre 9862, qui doit d'ailleurs contenir aussi les dizaines de a?*, s'il y en a. Gomme 2x760xa; est égal à 2x76xa;xl0, cela revient à dire que le nombre 986 contient au moins le produit 2 X 76 X ar. Le nombre 986 peut donc contenir le produit 2 X 76 par un nombre plus grand que x ; dès lors, si Ton divise 986 par 2 X 76, c'est-à-dire par le double des dizaines de la racine, on aura le nombre cherché, x, ou un nombrt trop fort.

Pour voir si ce chiffre est exact ou trop fort, on en fait l'essai. Dans le cas actuel, on a 2x76 = 152, et le quotient, à une unité près, de la division de 986 par 152 est 6. L'essai du chiffre 6 consiste à voir si l'on peut retrancher 766' du nombre proposé.

Il y a une manière particulière de faire cette soustraction. On a en effet

RACrNE CARRÉE 63

Or on a déjà retranché 760* et l'on a trouvé comme reste 9862. Pour faire Fessai de 6, il suffira donc de voir si, de 9862, on peut retrancher le nombre 2 x 760 x 6 H- 6^ Ce nombre est égal à (2x760-f-6)x6, ou à 1526x6, et l'on observe que pour avoir 1526 il suffit d'écrire 6 à droite du double de 76. Donc, pour faire Vessai du chiffre trouvé^ il suffit d'écrire ce nombre à droite du double des dizaines de la racine, de multiplier le nombre ainsi formé par le chiffre à essayer, et de voir si Von peut retrancher ce produit de 9862.

Si cette soustraction est possible, le chiffre est exact; sinon, il est trop fort. Dans ce cas, on le diminue d'une unité ; on essaie le nouveau chiffre de la même manière que le premier, et l'on continue ainsi jusqu'à ce qu'on ait obtenu le chiffre exact.

Dans l'exemple actuel, le chiffre 6 est exact, de sorte que la racine carrée est 766 ; d'où la règle suivante :

Règle. — Pour avoir les unités de la racine carrée, quand on connaît les * dizaines, on retranche le carré des dizaines du nombre proposé et Von divise le nombre des dizaines du reste par le double du nombre des dizaines de la racine. On obtient ainsi le chiffre des unités ou un chiffre trop fort, et l'on fait l'essai de ce chiffre comme il a été dit plus haut.

135. Extraction de la racine carrée d'un nombre entier à moins d'une unité. — Le problème précédent étant résolu, nous examinerons deux cas :

Premier cas. — Le nombre donné est inférieur à 100. — On obtient alors immédiatement la racine carrée cherchée au moyen de la table de Pythagore. Ainsi, la racine carrée de 56 à moins d'une unité est 7 ; car 7* = 49 < 56, tandis que 82 =z 64 > 56.

Deuxième cas. — Le nombre donné est quelconque. ■— Soit par exemple à extraire la racine carrée de 584762. Ce nombre étant supérieur à 100, sa racine a au moins deux chiffres, et l'on obtient les dizaines de cette racine en extrayant la racine de 5847 à moins d'une unité (133). Mais le nombre 5847 étant lui-même supérieur à 100, on obtient les dizaines de sa racine en extrayant la racine de 58 à moins d'une unité. Cette racine étant 7, on a ainsi le chiffre des dizaines de la racine de 5847 ; on en déduit le chiffre des

unités par Tapplication de la règle précédente (134), et Ton voit que la racine carrée de 5847 à moins d'une unité est 76.

Il en résulte (183) que 76 représente le nombre des dizaines de la racine de 584762. On en déduit le chiffre, 4, des unités par Tapplication de la même règle, et la racine cherchée est 764.

D'après cela, voici la règle pratique i

Règle. — Pour extraire la racine carrée d'un nombre entier à moins d'une unité, on partage ce nombre en tranches de deux chiffres à partir de la droite, la dernière tranche à gauche pouvant n'avoir qu'un seul chiffre. On extrait la racine carrée à moins d'une unité de la première tranche à gauche ; on a ainsi le premier chiffre à gauche de la racine. On retranche le carré de ce chiffre de la première tranche à gauche, et on abaisse la tranche suivante à droite du résultat, ce qui donne le premier reste.

On sépare un chiffre à droite de ce reste, et on divise le nombre formé à gauche par le double du chiffre de la racine ; on obtient ainsi le deuxième chiffre de la racine ou un chiffre trop fort.

On fait cUors l'essai de ce chiffre. Pour cela, on écrit le chiffre à essayer à droite du diviseur qui l'a fourni, on multiplie le nombre ainsi obtenu par le chiffre à essayer, et on examine si le produit peut être retranché du premier reste. Si la soustraction est possible, le chiffre est exact ; sinon il est trop fort et on le diminue d'une unité, puis on essaie le nouveau chiffre de la même manière que le précédent, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait obtenu le chiffre exact.

Le chiffre exact ayant été obtenu, on V écrit à la droite du premier, on effectue la soustraction qui a permis d'en vérifier Vexactitude, et, à la droite du résultat, on abaisse la tranche suivante, ce qui donne le deuxième reste.

On sépare un chiffre à droite de ce reste, et on divise le nombre formé à gauche par le double du nombre formé par les deux chiffres trouvés à la racine. On obtient ainsi le chiffre suivant de la racine ou un chiffre trop fort. On fait l'essai de ce chiffre comme on a fait l'essai du chiffre précédent, et on continue ainsi jusqu'à ce qu'on ait employé toutes les tranches.

On dispose l'opération comme il suit :