RACINE CARRÉE
136. Remarque. -- 11 résulte de la règle que le nombre des chiffres de la racine est égal au nombre des tranches.
137. Définition da reste. — On appelle reste de la racine carrée la différence entre le nombre et le carré de sa racine à moins d'une unité. Il est égal au dernier reste obtenu en appliquant la règle. Dans le cas précédent, il est égal à 1066.
On démontre qu'il est inférieur au double de la racine plus 1.
138. Racine carrée à moins d'une unité d'un nombre décimal. — La racine carrée à moins d'une unité d'un nombre décimal est la même que la racine carrée à moins d'une unité de sa partie entière.
Soit le nombre 5847,62, dont la partie entière est 5847. La racine carrée à moins d'une unité de la partie entière étant 76, il s'agit de prouver que 76 est aussi la racine carrée de 5847,62 à moins d'une unité, c'est-cvdire que 5847,62 contient le carré de 76 mais ne contient pas le carré de 77. Or, le carré de 76 étant contenu, par hypothèse, dans 5847, est contenu à plus forte raison dans 5847,62. D'autre part, 5847 étant inférieur à 77'^ par-hypothèse également, 5847,62 sera aussi inférieur à 77^ ; car, pour passer de 5847 à IVj il faut lui ajouter au moins 1, de sorte que si on ne lui ajoute que 0,62, le résultat sera encore inférieur à 77^.
Il suit bien de là que le carré de 76 est contenu dans 5847,62, tandis que le carré de 77 n'y est pas contenu, et la proposition est démontrée.
139. Racine carrée d'un nombre entier ou décimal à moins d'une unité décimale d'un ordre donné. — Soit, par exemple, à extraire la racine carrée du
nombre 58,47628 à jâq P^^s : 100 sera appelé le dénominateur de l'approximation.
Il s'agit de trouver le plus grand nombre de centièmes dont le carré soit contenu dans 58,47628. On peut représen-
MANUEL DE RHÉT. 5
ter ce plus grand nombre de centièmes par r^Q» x désignant
un nombre entier inconnu ; de sorte que le carré de rrr
est, par définition^ contenu dans 58,47628, tandis que le
X -+- 1 carré de "-tâtt n'y est pas contenu. On a donc les inégalités
(,f.)"^'M™<(îiiy.
Si Ton multiplie tout par 100', ces inégalités détiennent jr«^ 584762,8 <(ar-f-l)»; ce qui montre que le carré de x est contenu dans 5i84762,8, tandis que le carré de (x -4- 1) n'y est pas contenu ; par suite , X est la racine carrée de 584762,8 à moins d'une unité, ou, ce qui revient au même (138), la racine carrée de 584762 à moins d'une unité. D'ailleurs, le nombre x étant ainsi trouvé, pour avoir la racine carrée demandée, il n'y a qu'à diviser x par 100, c'est-à-dire à séparer deux chififres décimaux à droite de x,
La racine carrée de 584762 à moins d'une unité étant 764, X est égal à 764 ; de sorte que la racine carrée de 58,47628 à
moins de jrx est 7,64.
On déduit de là la règle suivante :
Règle. •— Pour extraire la racine carrée d*un nombre entier ou décimal à moins d'une vnité décimale d'un ordre donnée on avance la virgule du nombre décimal vers la droite, et d'un nombre de rangs égal au double du nombre des zéros du dénominateur de l'approximation. On extrait ensuite la racine carrée à moins d'une unité du nombre formé à gauche et, à droite du résultat, on sépare un nombre de chiffres décimaux égal au nombre des zéros du dénominateur de l'approximation.
Pour appliquer cette règle à un nombre entier, il n'y a qu'à considérer ce nombre entier comme un nombre décimal dont tous les chiffres décimaux, en nombre quelconque, sont des zéros.
